餘割
性質
奇偶性	奇
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\))$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\))$
到達域	${\displaystyle \left|\csc x\right|\geq 1}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
當x=0	∞
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	${\displaystyle x=k\pi }$ （x=180°k）
根	無實根
臨界點	${\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2))}$ （180°k-90°）
不動點	當x軸為弧度時： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 當x軸為角度時： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一個整數。

餘割（Cosecant，${\displaystyle \csc }$）是三角函数的一种。它的定义域不是${\displaystyle k\pi }$（或180°k，其中${\displaystyle k}$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）。

餘割是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在${\displaystyle 2k\pi }$（360°k）到${\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2))}$（360°k+90°）的區間之間，函數是遞减的，另外餘割函数和正弦函数互為倒數。

在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

余割的符号为${\displaystyle \csc }$，取自英文cosecant，其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。

定义

直角三角形中

在直角三角形中，一个銳角${\displaystyle \angle A}$的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} ))}$

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的余割定义为：

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y))}$

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y))}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数：

${\displaystyle \csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

與其他函數定義

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x))}$

級數定義

餘割也能使用泰勒級數來定義：

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x))+{\frac {x}{6))+{\frac {7x^{3)){360))+{\frac {31x^{5)){15120))+{\frac {127x^{7)){604800))+{\frac {73x^{9)){3421440))+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n)){(2n)!))x^{2n-1}.}$

其中${\displaystyle B_{2n))$為伯努利數。

另外，我们也有

${\displaystyle \csc x={\frac {1}{x))+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){-n^{2}\pi ^{2}+x^{2))}.}$

微分方程定义

${\displaystyle \csc 'x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle \csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'}$

指数定义

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^((\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta ))}\,}$

恆等式

和差角公式

${\displaystyle \csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta ))}$

參見

维基共享资源上的相关多媒体资源：餘割

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• 三角学
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