雙曲正弦
性質
奇偶性	奇
定義域	(-∞,∞)
到達域	(-∞,∞)
特定值
當x=0	0
當x=+∞	+∞
當x=-∞	-∞
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	N/A
根	0
臨界點	N/A
拐點	0

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示^[1]，在部分較舊的文獻中有時會以${\displaystyle {\mathfrak {Sin))}$表示。^[2]

定義

雙曲正弦一般計為${\displaystyle \sinh }$^[3]（有時會簡寫為${\displaystyle \operatorname {sh} }$^[4]），其在複變分析中定義為:^[5]

${\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z)){2))}$

其中${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z))$是複變指數函數（日语：複素指数函数）。

也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半^[6]。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition）^[7]

在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。^[8]

性質

一般性質

• 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。^[9]
• 雙曲正弦是一個奇函數。^[10]
• 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間${\displaystyle \left[-\infty ,0\right]}$上是凹函數、在區間${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$上是凸函數。^[9]

三角學性質

根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得：^[8][11]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

其與經典的歐拉公式類似。

當${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$時，有以下恆等式:^[8][12]

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x)){2))=\mathrm {i} \sin(x)}$

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$^[8]

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2))\right)\cosh \left({\frac {x}{2))\right)}$

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)))$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2))\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2))}$

特殊值

雙曲正弦存在一些特殊值^[5]：

• ${\displaystyle \sinh(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} ))}$
• ${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)}$
• ${\displaystyle \sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2))}$

其中${\displaystyle \varphi }$為黃金比例

參見

• 正弦

參考文獻

查 论 编 三角函数 基本函數 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 反函數 反正弦 反餘弦 反正切 反餘切 反正割‎ 反餘割 少見函數 正矢 餘矢 正弧 餘弧 半正矢 半餘矢 外正割 外餘割 函數分類 正函數 正角 正弦 正切 正割 正矢 正弧 半正矢 外正割 餘函數 餘角 餘弦 餘切 餘割 餘矢 餘弧 半餘矢 外餘割 其他函數 極正弦 弦函數 arc函數 cis函數 餘cis函數 cas函數 arg函數 atan2 古德曼函數 符號 sin cos tan cot sec csc exs exc ver cvs vcs cvc hav hcv hvc hcc arc crd sag apo（英语：Apothem） cis cas arg 双曲函数 雙曲正弦 雙曲餘弦 相關概念 割圓八線 同界角 辐角 單位圓 圓心角 週期性 定理 正弦定理 餘弦定理 正切定理 餘切定理 半正矢定理 勾股定理 恒等式 三角函數恆等式 雙曲三角函數恆等式 正切半角公式 三分之一角公式 餘函數恆等式 诱导公式 半正矢公式 其他 三角函數精確值 三角函数积分表 三角函数表 三角多項式 三角函数线 正弦曲線 雙曲三角函數