非凸大斜方截半二十面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron）
識別
名稱	非凸大斜方截半二十面體 great rhombicosidodecahedron uniform great rhombicosidodecahedron nonconvex great rhombicosidodecahedron quasirhombicosidodecahedron
參考索引	U67, C84, W105
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	qrid
數學表示法
施萊夫利符號	t0,2{5⁄3,3} ${\displaystyle r^{\prime }{\begin{Bmatrix}3\\{\tfrac {5}{2))\end{Bmatrix))}$[1]:162[2]
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	3 5⁄3 | 2[3][4][2]
性質
面	62
邊	120
頂點	60
歐拉特徵數	F=62, E=120, V=60 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	20個正三角形 30個正方形 12個正五角星
頂點圖	3.4.5/3.4
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
3.4.5/3.4 （頂點圖） 大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron） （對偶多面體）
查 论 编

在幾何學中，非凸大斜方截半二十面體是一種非凸均勻多面體^[5]，由62個面、120條邊和60個頂點組成^[6]，其索引為U₆₇，對偶多面體為大鳶形六十面體（英语：Great deltoidal hexecontahedron）^[2]，具有二十面體群對稱性（英语：Icosahedral symmetry），^[6][7]可以視為大十二面截半二十面體的刻面（英语：Faceting）多面體。^[8]在施萊夫利符號中，非凸大斜方截半二十面體可以表示為t_0,2{⁵⁄₃,3}或${\displaystyle r^{\prime }{\begin{Bmatrix}3\\{\tfrac {5}{2))\end{Bmatrix))}$^[1]:162[2]，在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為，在威佐夫記號中可以表示為3 ⁵⁄₃ | 2^[3][4][2]。

非凸大斜方截半二十面體與小斜方截半二十面体拓樸同構^[8]，其骨架圖在拓樸學上是等價的^[9]。

這個多面體與凸大斜方截半二十面体同名。

非凸大斜方截半二十面體共有62個面、120條邊和60個頂點。^[6]在其62個面中，有20個正三角形、30個正方形和12個正五角星^{[5]:134[10][11]}，在這些面中，共有12個非凸面和12個自相交面^[4]。若排除互相相交與自相交面，作為一個簡單多面體則其外部面共有980個。^[12]

非凸大斜方截半二十面體的歐拉示性數為：

V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2

因此這個多面體同胚於球體。^[10]

其60個頂點每個頂點都是2個正方形、一個五角星和一個正三角形的公共頂點，並依照五角星、正方形、三角形、正方形的順序在頂點周圍來列，並形成了一個交叉四邊形，在頂點圖中，這樣的頂角可以用[5/3,4,3,4]或來表示^[8]

非凸大斜方截半二十面體有兩種二面角，分別為正方形面與三角形面的二面角以及正方形與五角星的二面角。

正方形與三角形的二面角約為69度：^[13]

${\displaystyle \arccos \left({\frac ((\sqrt {15))-{\sqrt {3))}{6))\right)\approx 1.205932498681\approx 69.094842552^{\circ ))$

正方形與五角星的二面角約為58.28度^[8]或視為反向相接的301.71747度^[13]：

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5))\right))){10))\right)\approx 1.01722196789785\approx 58.282526^{\circ ))$

若非凸大斜方截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為：^[14]:1250[2]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {11-4{\sqrt {5)))){2))}$

非凸大斜方截半二十面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種^[15]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。^[16]

自相交擬擬正多面體
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面體	大立方截半立方體	非凸大斜方截半立方體	小十二面截半二十面體
大十二面截半二十面體	小雙三角十二面截半二十面體	大雙三角十二面截半二十面體	二十面化截半大十二面體
小二十面化截半二十面體	大二十面化截半二十面體	斜方截半大十二面體	非凸大斜方截半二十面體

非凸大斜方截半二十面體與截角大十二面體以及6（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）和12複合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）共用相同的頂點佈局。同時，其亦與大十二面截半二十面體和大斜方十二面體共用相同的邊佈局。^[8]

非凸大斜方截半二十面體	大十二面截半二十面體	大斜方十二面體
截角大十二面體	六複合五角柱（英语：Compound_of_six_pentagonal_prisms）	十二複合五角柱（英语：Compound_of_twelve_pentagonal_prisms）

• 均勻星形多面體

查 论 编 從星形正多面體變換的星形均勻多面體 大十二面體 （原像） 小星形十二面體 （對偶） 大二十面體 （原像） 大星形十二面體 （對偶） 截角大十二面體* （截角） 截角小星形十二面體 （截角） 截角大二十面體* （截角） 截角大星形十二面體 （截角） 小星形截角十二面體* （星形截角） 大星形截角十二面体* （星形截角） 截半大十二面體* （截半） 大截半二十面体* （截半） 斜方截半大十二面體* 全截大十二面體 小複雜斜方截半二十面體 全截大二十面體 複雜斜方截半大十二面體 截角截半大十二面體* 非凸大斜方截半二十面體* 大截角截半二十面體* 扭稜小星形十二面體* 扭稜大星形十二面體* 反扭稜小星形十二面體* 反扭稜大星形十二面體* 星號*表示該立體屬於非退化的星形均勻多面體。 黃色和紅色為來自原像的面；藍色為截邊出現的正方形面；灰色為扭稜出現的三角形面。