线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))}
向量 ·
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基底 ·
行列式 ·
矩阵
向量
标量 ·
向量 ·
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外积 (
向量积 ·
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数量积 ) ·
二重向量
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矩阵 ·
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查 论 编
在線性代數 裡,向量空間 的一組元素中,若沒有向量 可用有限個 其他向量的線性組合 所表示,则稱為線性無關 或線性獨立 (linearly independent ),反之稱為線性相關 (linearly dependent )。例如在三維歐幾里得空間 R 3 的三個向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關,因為第三個是前兩個的和。
假設V 是在域 K 上的向量空間。如果
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n))
是V 的向量,若它們為線性相關 ,则在域K 中有非全零的元素
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n))
,使得
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
;或更簡略地表示成,
∑
i
=
1
n
a
i
v
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} }
。(注意右邊的零是V 的零向量,不是K 的零元素。)
如果K 中不存在這樣的元素,那麼
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n))
是線性無關 。
對線性無關 可以給出更直接的定義。向量
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n))
線性無關 ,若且唯若它們滿足以下條件:如果
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n))
是K 的元素,適合:
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
,那麼對所有
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
都有
a
i
=
0
{\displaystyle a_{i}=0}
。
在V 中的一個無限集,如果它任何一個有限子集都是線性無關,那麼原來的無限集也是線性無關。
線性相關性是線性代數的重要概念,因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間,而這組向量則是這向量空間的基 。
若有向量組
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s))
,其中
a
1
=
0
{\displaystyle a_{1}=0}
,則
a
1
=
0
⋅
a
2
+
.
.
.
+
0
⋅
a
s
{\displaystyle a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s))
。 若有向量組
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s))
,其中
a
1
=
a
2
{\displaystyle a_{1}=a_{2))
,則
a
1
=
1
⋅
a
2
+
0
⋅
a
3
+
.
.
.
+
0
⋅
a
s
{\displaystyle a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s))
。 若一向量組相關,則加上任意個向量後,仍然線性相關;即局部線性相關,整體必線性相關。
整體線性無關,局部必線性無關。
向量個數大於向量維數,則此向量組線性相關。
若一向量組線性無關,即使每一向量都在同一位置處增加一分量,仍然線性無關。
若一向量組線性相關,即使每一向量都在同一位置處減去一分量,仍然線性相關。
若
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s))
線性無關,而
b
,
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle b,a_{1},a_{2},...,a_{s))
線性相關,則
b
{\displaystyle b}
必可由
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s))
線性表示,且表示係數唯一。
有向量組
I
{
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
}
{\displaystyle {\textrm {I))\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\))
和
II
{
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
t
}
{\displaystyle {\textrm {II))\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\))
,其中
t
>
s
{\displaystyle t>s}
,且
II
{\displaystyle {\textrm {II))}
中每個向量都可由
I
{\displaystyle {\textrm {I))}
線性表示,則向量組
II
{\displaystyle {\textrm {II))}
必線性相關。即向量個數多的向量組,若可被向量個數少的向量組線性表示,則向量個數多的向量組必線性相關。
若一向量組
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
t
{\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t))
可由向量組
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
s
{\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s))
線性表示,且
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
t
{\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t))
線性無關,則
t
≤
s
{\displaystyle t\leq s}
。即線性無關的向量組,無法以向量個數較少的向量組線性表示。 设V = R n ,考虑V 内的以下元素:
e
1
=
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
⋮
e
n
=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
1
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix))}
则e 1 、e 2 、……、en 是线性无关的。
假设a 1 、a 2 、……、an 是R 中的元素,使得:
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
=
0.
{\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!}
由于
a
1
e
1
+
a
2
e
2
+
⋯
+
a
n
e
n
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!}
因此对于{1, ..., n }内的所有i ,都有ai = 0。
设V 是实变量t 的所有函数 的向量空间 。则V 内的函数et 和e 2t 是线性无关的。
假设a 和b 是两个实数,使得对于所有的t ,都有:
aet + be 2t = 0我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以e t (它不能是零),得:
bet = −a 也就是说,函数be t 与t 一定是独立的,这只能在b = 0时出现。可推出a 也一定是零。
R 4 内的以下向量是线性相关的。
[
1
4
2
−
3
]
,
[
7
10
−
4
−
1
]
,
[
−
2
1
5
−
4
]
{\displaystyle {\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix))\\\\\end{matrix))}
我们需要求出标量
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1))
、
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2))
和
λ
3
{\displaystyle \lambda _{3))
,使得:
λ
1
[
1
4
2
−
3
]
+
λ
2
[
7
10
−
4
−
1
]
+
λ
3
[
−
2
1
5
−
4
]
=
[
0
0
0
0
]
.
{\displaystyle {\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix))+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix))+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix)).\end{matrix))}
可以形成以下的方程组 :
λ
1
+
7
λ
2
−
2
λ
3
=
0
4
λ
1
+
10
λ
2
+
λ
3
=
0
2
λ
1
−
4
λ
2
+
5
λ
3
=
0
−
3
λ
1
−
λ
2
−
4
λ
3
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned))}
解这个方程组(例如使用高斯消元法 ),可得:
λ
1
=
λ
1
λ
2
=
(
−
λ
1
)
/
3
λ
3
=
(
−
2
λ
1
)
/
3.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned))}
由于它们都是非平凡解 ,因此这些向量是线性相关的。
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5 , Kapitel 1.5.