在數學 裡,有著許多明顯矛盾 的虛假證明 存在。即使其證明是有缺陷的,其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤 一般都儘止於好奇而已,但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。
大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射 的函數
f
{\displaystyle f}
,以觀察對某些
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
,會有
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
,來(錯誤地)做出
x
=
y
{\displaystyle x=y}
的結論。零除數 是此類錯誤的一特例;
f
{\displaystyle f}
為將
x
{\displaystyle x}
映射至
x
×
0
{\displaystyle x\times 0}
的函數,而其錯誤的一步是起於將
x
×
0
=
y
×
0
{\displaystyle x\times 0=y\times 0}
的等式做成
x
=
y
{\displaystyle x=y}
的結論。相似地,下面證明了
5
=
4
{\displaystyle 5=4}
的句子也是以函數
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2))
的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
會使得
x
2
=
y
2
{\displaystyle x^{2}=y^{2))
的一正確申論,然後做出了
x
=
y
{\displaystyle x=y}
的一錯誤結論。
假設最大的正整數不是
1
{\displaystyle 1}
,而是
a
{\displaystyle a}
,有
a
>
1
{\displaystyle a>1}
;
a
>
1
>
0
{\displaystyle a>1>0}
,
a
{\displaystyle a}
為正的,所以由
a
>
1
{\displaystyle a>1}
得到
a
×
a
>
a
{\displaystyle a\times a>a}
;但是
a
×
a
{\displaystyle a\times a}
還是正整數,可是沒有任何正整數比
a
{\displaystyle a}
大,矛盾; Q.E.D.
此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。
由一等式開始
−
1
=
−
1
{\displaystyle -1=-1\,}
將兩邊轉成假分數
−
1
1
=
1
−
1
{\displaystyle {\frac {-1}{1))={\frac {1}{-1))}
將兩邊開方
−
1
1
=
1
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1))}={\sqrt {\frac {1}{-1))))
其會等於
−
1
1
=
1
−
1
{\displaystyle {\frac {\sqrt {-1)){\sqrt {1))}={\frac {\sqrt {1)){\sqrt {-1))))
兩邊同乘
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1))}
以來消去分數
−
1
−
1
=
1
1
{\displaystyle {\sqrt {-1)){\sqrt {-1))={\sqrt {1)){\sqrt {1))}
但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故
−
1
=
1
{\displaystyle -1=1\,}
Q.E.D.
此一證明是無效的,因為負數的開方不是实数,
1
−
1
=
−
1
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1))}={\sqrt {\frac {-1}{1))))
推出
1
−
1
=
−
1
1
{\displaystyle {\frac {\sqrt {1)){\sqrt {-1))}={\frac {\sqrt {-1)){\sqrt {1))))
是错误的(事實上,
1
−
1
=
−
i
{\displaystyle {\frac {\sqrt {1)){\sqrt {-1))}=-i}
,
−
1
1
=
i
{\displaystyle {\frac {\sqrt {-1)){\sqrt {1))}=i}
)。
1.令
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
,且
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
2.將兩邊乘以a
a
2
=
a
b
{\displaystyle a^{2}=ab\,}
3.將兩邊減掉
b
2
{\displaystyle b^{2}\,}
a
2
−
b
2
=
a
b
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,}
4.將兩邊因式分解
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,}
5.將兩邊除以
a
−
b
{\displaystyle a-b\,}
a
+
b
=
b
{\displaystyle a+b=b\,}
6.因為
a
=
b
{\displaystyle a=b\,}
因此
b
+
b
=
b
{\displaystyle b+b=b\,}
7.簡化
2
b
=
b
{\displaystyle 2b=b\,}
8.將兩邊除以b
2
=
1
{\displaystyle 2=1\,}
Q.E.D.
這個證明的錯誤點在於第五步,
{\displaystyle \,}
正因為a=b所以a-b等於零 ,而除以零 是無效的。
由一等式開始
−
20
=
−
20
{\displaystyle -20=-20\,}
將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
25
−
45
=
16
−
36
{\displaystyle 25-45=16-36\,}
將兩邊做因式分解
5
2
−
5
×
9
=
4
2
−
4
×
9
{\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}
將兩邊加上相同的數
5
2
−
5
×
9
+
81
4
=
4
2
−
4
×
9
+
81
4
{\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4))=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4))}
將兩邊再做一次因式分解
(
5
−
9
2
)
2
=
(
4
−
9
2
)
2
{\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2))\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2))\right)^{2))
將兩邊開方
5
−
9
2
=
4
−
9
2
{\displaystyle 5-{\frac {9}{2))=4-{\frac {9}{2))}
消去相同的項
5
=
4
{\displaystyle 5=4\,}
Q.E.D.
那一證明內的錯誤在於
x
2
=
y
2
{\displaystyle x^{2}=y^{2))
不表示
x
=
y
{\displaystyle x=y}
的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上,
−
(
5
−
9
2
)
=
4
−
9
2
{\displaystyle -\left(5-{\tfrac {9}{2))\right)=4-{\tfrac {9}{2))}
。需注意的是,若將4減去
9
2
{\displaystyle {\tfrac {9}{2))}
,會得到
−
1
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2))}
。若再平方的話,則會得到正的
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4))}
。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2))}
會等於
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2))}
。原始的
−
20
=
−
20
{\displaystyle -20=-20}
式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。
求
1
+
1
{\displaystyle 1+1}
︰
1
+
1
=
1
+
1
=
1
+
(
−
1
)
(
−
1
)
=
1
+
−
1
×
−
1
=
1
+
i
×
i
=
1
+
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1))\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)))\\&=1+{\sqrt {-1))\times {\sqrt {-1))\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned))}
Q.E.D.
此證明的錯誤在於
a
b
=
a
×
b
{\displaystyle {\sqrt {ab))={\sqrt {a))\times {\sqrt {b))}
只有在a與b不皆為負數才成立,
(
−
1
)
(
−
1
)
{\displaystyle {\sqrt {(-1)(-1)))}
並不等於
−
1
×
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1))\times {\sqrt {-1))}
。
首先,設定一個無窮級數。
0
=
0
+
0
+
0
+
⋯
{\displaystyle 0=0+0+0+\cdots }
因為
0
=
1
−
1
{\displaystyle 0=1-1}
,因此:
0
=
(
1
−
1
)
+
(
1
−
1
)
+
(
1
−
1
)
+
⋯
{\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots }
拆括號之後在於不同的地方加上括號:
0
=
1
+
(
−
1
+
1
)
+
(
−
1
+
1
)
+
(
−
1
+
1
)
+
⋯
{\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots }
−
1
+
1
=
0
{\displaystyle -1+1=0}
,因此:
0
=
1
+
0
+
0
+
0
+
⋯
{\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots }
0
=
1
{\displaystyle 0=1\,}
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數
s
=
1
−
1
+
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
{\displaystyle s=1-1+1-1+1-1+\cdots }
。
−
1
b
{\displaystyle -{\frac {1}{b))}
=
−
a
a
b
{\displaystyle =-{\frac {\frac {a}{a)){b))}
=
−
a
b
⋅
1
a
{\displaystyle =-{\frac {a}{b)){}\cdot {\frac {1}{a))}
−
a
b
−
1
b
=
1
a
{\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b))}{-{\frac {1}{b))))={\frac {1}{a))}
−
a
b
⋅
−
b
=
1
a
{\displaystyle -{\frac {a}{b))\cdot -b={\frac {1}{a))}
a
=
1
a
{\displaystyle a={\frac {1}{a))}
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
−
a
b
−
1
b
{\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b))}{-{\frac {1}{b))))}
不等於
1
a
{\displaystyle {\frac {1}{a))}
,正確等式應是
−
1
b
−
a
b
=
1
a
{\displaystyle {\frac {-{\frac {1}{b))}{-{\frac {a}{b))))={\frac {1}{a))}
(下一步:
1
b
⋅
b
a
=
1
a
{\displaystyle {\frac {1}{b))\cdot {\frac {b}{a))={\frac {1}{a))}
)。
首先,我們知道:
0
4
=
0
×
0
×
0
×
0
=
0
{\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,}
0
2
=
0
×
0
=
0
{\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,}
由於
a
m
−
n
=
a
m
a
n
{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m)){a^{n))))
因此
0
4
0
2
=
0
4
−
2
=
0
2
=
0
{\displaystyle {\frac {0^{4)){0^{2))}=0^{4-2}=0^{2}=0}
因此
0
0
=
0
{\displaystyle {\frac {0}{0))=0}
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
a
m
−
n
=
a
m
a
n
{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m)){a^{n))))
成立的前提有
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
。
設
u
=
a
,
v
=
b
−
c
{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}
設
a
=
x
−
y
,
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
由和立方 與差立方 公式可知:
(
u
+
v
)
3
=
u
3
+
3
u
2
v
+
3
u
v
+
v
v
{\displaystyle (u+{\sqrt {v)))^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v))+3uv+v{\sqrt {v))}
(
u
−
v
)
3
=
u
3
−
3
u
2
v
+
3
u
v
−
v
v
{\displaystyle (u-{\sqrt {v)))^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v))+3uv-v{\sqrt {v))}
由於
u
=
a
,
v
=
b
−
c
{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}
(
a
+
b
−
c
)
3
=
a
(
a
2
+
3
b
−
3
c
)
+
(
3
a
2
+
b
−
c
)
b
−
c
{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c)))^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c))}
(
a
−
b
−
c
)
3
=
a
(
a
2
+
3
b
−
3
c
)
−
(
3
a
2
+
b
−
c
)
b
−
c
{\displaystyle (a-{\sqrt {b-c)))^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c))}
將
a
=
x
−
y
,
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
代入
3
a
2
+
b
−
c
{\displaystyle 3a^{2}+b-c\,}
,可得:
3
a
2
+
b
−
c
=
3
(
x
2
−
2
x
y
+
y
2
)
+
x
2
+
2
x
y
+
y
2
−
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}
因此:
(
a
+
b
−
c
)
3
=
(
a
−
b
−
c
)
3
a
+
b
−
c
=
a
−
b
−
c
b
−
c
=
0
b
−
c
=
0
b
=
c
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c)))^{3}&=(a-{\sqrt {b-c)))^{3}\\a+{\sqrt {b-c))&=a-{\sqrt {b-c))\\{\sqrt {b-c))&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned))}
代入
b
=
(
x
+
y
)
2
,
c
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}
,可得:
(
x
+
y
)
2
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
x
2
+
2
x
y
+
y
2
=
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
−
3
x
2
+
6
x
y
−
3
y
2
=
0
(
x
−
y
)
2
=
0
x
−
y
=
0
x
=
y
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned))}
Q.E.D.
这个证明的错误在于:
1、在以上的假设下,可得
v
=
b
−
c
=
(
x
+
y
)
2
−
4
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
=
−
3
(
x
−
y
)
2
=
−
3
a
2
=
−
3
u
2
{\displaystyle v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2))
,所以
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
并不是独立的;
2、在复数域 中,由
x
3
=
y
3
{\displaystyle x^{3}=y^{3))
得不出
x
=
y
{\displaystyle x=y}
。在此证明中,由
(
a
+
b
−
c
)
3
=
(
a
−
b
−
c
)
3
{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c)))^{3}=(a-{\sqrt {b-c)))^{3))
得出
a
+
b
−
c
=
a
−
b
−
c
{\displaystyle a+{\sqrt {b-c))=a-{\sqrt {b-c))}
是错误的。
第一题错误的证图 第一题正确的证图 第二题错误的证图 第二题正确的证图 给定三角形△ABC,证明AB = AC:
作∠A的角平分线 。
作BC的垂直平分线,并设BC的中点为D。
设这两条直线的交点为P。
从P向AB和AC作垂线,并设垂足为E和F。
作直线PB和PC。
△EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
△PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由于PD平分BC)。
△EPB ≅ △FPC(EP = FP由于△EAP ≅ △FAP;BP = CP由于△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角)。
因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
同理,AB = BC,AC = BC。 证毕。
这个证明的错误在于,只有在△ABC為等腰三角形,P才會位于三角形的内部,而且AP与DP会重合。
给定一个矩形ABCD,证明∠DCB=∠ECB;
在矩形ABCD外作CE=CD。
联结AE。
作BC、AE的中垂线 ,它们的垂足分别是G、F,两条直线 交于H。
在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
矩形的对边相等,得AB=DC;加上作图要求,得AB=EC。
利用S.S.S 得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
由于HB=HC,则得∠HBC=∠HCB。
等量减等量,得∠ABC=∠ECB。
矩形的四个角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。 Q.E.D.
这个证明的错误在于,由于△ABH≅△ECH,则∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转,因AH穿过了矩形ABCD,则EH是不可能穿过矩形ABCD的。
我们从计算以下的不定积分 开始:
∫
1
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x))dx}
利用分部积分法 ,可得:
u
=
1
x
{\displaystyle u={\frac {1}{x))}
,
d
v
=
d
x
{\displaystyle dv=dx}
因此:
d
u
=
−
1
x
2
d
x
{\displaystyle du=-{\frac {1}{x^{2))}dx}
,
v
=
x
{\displaystyle v=x}
所以,有:
∫
1
x
d
x
=
x
x
−
∫
(
−
1
x
2
)
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x))dx={\frac {x}{x))-\int \left(-{\frac {1}{x^{2))}\right)xdx}
∫
1
x
d
x
=
1
+
∫
1
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x))dx=1+\int {\frac {1}{x))dx}
0
=
1
{\displaystyle 0=1\,}
证毕。
这个证明的错误在于,忽略了積分完會出現的積分常數 C。若繼續計算,會得到
1
+
∫
1
x
d
x
=
1
+
ln
|
x
|
+
C
=
ln
|
x
|
+
C
′
{\displaystyle 1+\int {\frac {1}{x))dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'}
。