60的因數 集
P
{\displaystyle P}
,以整除關係為偏序,所成的哈斯圖 。紅色子集
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle S=\{1,2,3,4\))
有兩個極大元
3
{\displaystyle 3}
、
4
{\displaystyle 4}
和一個極小元
1
{\displaystyle 1}
。
1
{\displaystyle 1}
同時也是最小元 。 数学 分支序理论 中,預序集 子集
S
{\displaystyle S}
的極大元 (英語:maximal elements )不小於
S
{\displaystyle S}
的任何元素。極小元 (minimal elements )可對偶地 定義,其不大於
S
{\displaystyle S}
的任何元素。
極大和極小的條件比最大和最小 弱。預序集的子集
S
{\displaystyle S}
的最大元需要「大於或等於」
S
{\displaystyle S}
的全體元素(最小元同樣為其對偶),極大元則衹需「不小於」(例如不可比較 )。若將預序集限縮至偏序集 ,則至多衹有一個最大元和一個最小元,但極大、極小元皆可有多於一個。[ 1] [ 2] 但在全序集 上,最大等價於極大,最小亦等價於極小。
以集族
S
:=
{
{
1
,
2
}
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
{
2
,
3
,
5
}
}
{\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\))
為例,其上的偏序為包含關係 。當中
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\))
極小,因為不包含族中任何其他集合,反之
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\))
極大,因為不被其他集合包含。
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\))
則既非極小亦非極大,但
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,5\))
同時為極小、極大。相比之下,
S
{\displaystyle S}
無最大元 和最小元 。
設
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
為预序集 ,又設
S
⊆
P
{\displaystyle S\subseteq P}
,則
S
{\displaystyle S}
中關於
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的極大元定義為滿足以下性質的元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
:
若有
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
m
≤
s
,
{\displaystyle m\leq s,}
則必有
s
≤
m
.
{\displaystyle s\leq m.}
與之類似,
S
{\displaystyle S}
中關於
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的極小元 是滿足以下性質的元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
:
若有
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
s
≤
m
,
{\displaystyle s\leq m,}
則必有
m
≤
s
.
{\displaystyle m\leq s.}
等價地,亦可將
S
{\displaystyle S}
關於
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
的極小元定義為
S
{\displaystyle S}
關於
≥
{\displaystyle \,\geq \,}
的極大元,其中對任意
p
,
q
∈
P
{\displaystyle p,q\in P}
,
q
≥
p
{\displaystyle q\geq p}
當且僅當
p
≤
q
{\displaystyle p\leq q}
。
若無明示子集
S
{\displaystyle S}
,則所謂極大元預設是
P
{\displaystyle P}
的極大元。
若預序集
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
實為偏序集 [ 註 1] ,或者限縮到
(
S
,
≤
)
{\displaystyle (S,\leq )}
是偏序集,則
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
為極大當且僅當
S
{\displaystyle S}
無嚴格較
m
{\displaystyle m}
大的元素。換言之,不存在
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
使
m
≤
s
{\displaystyle m\leq s}
及
m
≠
s
.
{\displaystyle m\neq s.}
將本段的
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
號一律換成
≥
{\displaystyle \,\geq \,}
就得到極小元的描述。
極大/極小元不必存在。
例一:考慮實數 系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的區間
S
=
[
1
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
。對任意元素
m
∈
S
{\displaystyle m\in S}
,
s
=
m
+
1
{\displaystyle s=m+1}
仍在
S
{\displaystyle S}
中,但
m
<
s
{\displaystyle m<s}
,因此沒有元素
m
{\displaystyle m}
為極大。
例二:考慮有理數 系
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的子集
S
=
{
s
∈
Q
:
1
≤
s
2
≤
2
}
{\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\))
,因為根號2是無理數 ,對任何有理數
m
≤
2
{\displaystyle m\leq {\sqrt {2))}
皆可找到另一有理數
s
{\displaystyle s}
使
m
<
s
<
2
{\displaystyle m<s<{\sqrt {2))}
。 但在某些情況下,極大/極小元保證存在。
若
S
{\displaystyle S}
為有限非空子集,則必有極大元和極小元。(對無窮子集無此結論,如整數 系
Z
⊆
R
{\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }
就沒有極大元。)
佐恩引理 斷言:「若偏序集
P
{\displaystyle P}
中,每個全序子集
S
{\displaystyle S}
皆有上界 ,則
P
{\displaystyle P}
至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理 和选择公理 ,[ 3] 在數學的多個分支有重要推論,例如可證任何向量空間皆有基 (極大的代數無關子集),或是任何域 皆有代數閉包 (代數擴張 偏序下的極大元)。極大/極小元不必唯一。
帕累托效率 中,「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善 偏序下的極大元,此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」(Pareto frontier )。
决策论 中,可容決策規則 是優勢 偏序下的極大元。
现代投资组合理论 中,風險(以低為優)與回報(以高為優)的積序 [ 註 2] 下,極大元稱為效率投資組合(efficient portfolio ),組成的集合則為效率前緣 。
集合论 中,某集合為有限 當且僅當其任意非空子集 族 (以包含 關係為偏序)皆有極小元。[ 註 3]
抽象代数 中,需要將最大公因數 的概念推廣為極大公因子 ,因為某些數系中,若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元(整除意義下)。
计算几何 中,點集的極大元 是逐分量比較[ 註 2] 下的極大元。
^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics , American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3 .
^ Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
^ Jech, Thomas . The Axiom of Choice. Dover Publications . 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8 .