在數學 上,特別是拓樸學 中,開集 是對實數 開區間進行推廣之後得到的抽象集合 。
通常微積分 的課程中,會借助歐式空間 的距離 去描述數列極限 ;直觀上,當
n
{\displaystyle n}
越來越大時數列
x
n
{\displaystyle x_{n))
跟
a
{\displaystyle a}
要多靠近有多靠近的時候,就說
a
{\displaystyle a}
是數列
x
n
{\displaystyle x_{n))
的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於"
a
{\displaystyle a}
點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限 也需要距離的概念去嚴謹定義。
满足
x
2
+
y
2
=
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))
的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
着蓝色。满足
x
2
+
y
2
<
r
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2))
的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。 直觀上,於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點,都可以找到一個以此點為圓心,且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤(但圓盤的邊界可能不在開集內)。開集的嚴謹定義由此而來。
所謂的
n
{\displaystyle n}
維歐式空間,指的是囊括所有实数 n -元組
(
r
1
,
…
,
r
n
)
{\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})}
的集合(記為
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
)。 為了定義開集,可以推廣勾股定理 ,將
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
中任兩點
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}
與
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}
的歐式 距離定義為:
d
n
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
2
{\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2))))
然後定義所謂的(
n
{\displaystyle n}
維)開球 (open ball):
B
(
a
,
r
)
:=
{
p
∈
R
n
|
d
n
(
a
,
p
)
<
r
}
{\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \))}
也就是直觀上,一個以
a
{\displaystyle a}
為球心,
r
{\displaystyle r}
為半徑但不包含表面的球體 。
這樣就可以作如下的定義:
也就是直觀上,取開集
O
{\displaystyle O}
的任意點
x
{\displaystyle x}
都有一個以
x
{\displaystyle x}
為球心的開球 完全包含於
O
{\displaystyle O}
。
只要把上節的歐式 距離改成一般的度量 ,開集的概念很容易推廣到賦距空间
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,d)}
中。
以下把
(
M
,
d
)
{\displaystyle (M,d)}
中的開球 (open ball)定義成:
B
(
a
,
δ
)
:=
{
p
∈
M
|
d
(
a
,
p
)
<
δ
}
{\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \))}
這樣就可以作如下的定義:
這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離
d
n
{\displaystyle d_{n))
和
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
本身就組成了一個賦距空間
(
R
n
,
d
n
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})}
。
賦距空間的開集還會有以下的性質:
證明
(1) 對每個
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
都有
B
(
p
,
1
)
⊆
M
{\displaystyle B(p,\,1)\subseteq M}
,所以
M
{\displaystyle M}
是自己的一個開集;另外對所有
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
都有
p
∉
∅
{\displaystyle p\notin \varnothing }
(直觀上來說沒有點可以當開球的球心),所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於
∅
{\displaystyle \varnothing }
,就可以得到
∅
{\displaystyle \varnothing }
滿足開集的定義 (直觀上來說,前提為假的話,不論結論是否為真,「前提=>結論」都是對的)。
◻
{\displaystyle \Box }
(2) 若
p
∈
A
∩
B
{\displaystyle p\in A\cap B}
,依據假設存在
δ
A
,
δ
B
>
0
{\displaystyle \delta _{A},\,\delta _{B}>0}
使得
B
(
p
,
δ
A
)
⊆
A
{\displaystyle B(p,\,\delta _{A})\subseteq A}
且
B
(
p
,
δ
B
)
⊆
B
{\displaystyle B(p,\,\delta _{B})\subseteq B}
,這樣取
δ
=
min
{
δ
A
,
δ
B
}
{\displaystyle \delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\))
的話,就有
B
(
p
,
δ
)
⊆
A
∩
B
{\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B}
,是故
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
也是
M
{\displaystyle M}
的開集。
◻
{\displaystyle \Box }
(3) 若
p
∈
⋃
F
{\displaystyle p\in \bigcup {\mathcal {F))}
,依照聯集 的性質,存在
O
∈
F
{\displaystyle O\in {\mathcal {F))}
使得
p
∈
O
{\displaystyle p\in O}
;但根據假設,
O
∈
F
{\displaystyle O\in {\mathcal {F))}
都是
M
{\displaystyle M}
的開集,換句話說,存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
使
B
(
p
,
δ
)
⊆
O
{\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq O}
,那因為
O
⊆
⋃
F
{\displaystyle O\subseteq \bigcup {\mathcal {F))}
,所以有
B
(
p
,
δ
)
⊆
⋃
F
{\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F))}
,是故
⋃
F
{\displaystyle \bigcup {\mathcal {F))}
也是
M
{\displaystyle M}
的開集。
◻
{\displaystyle \Box }
事實上這些性質這就是拓扑空间 定義的動機。
開集是拓扑空间 定義的基石;也就是從任意母集合
X
{\displaystyle X}
出發,再選取
X
{\displaystyle X}
的特定的子集族
τ
{\displaystyle \tau }
,規定
τ
{\displaystyle \tau }
中的集合就是開集 ,这樣的子集族
τ
{\displaystyle \tau }
被叫做
X
{\displaystyle X}
上的拓扑 :
根據上一節賦距空間的性質,取
τ
d
{\displaystyle \tau _{d))
為所有
M
{\displaystyle M}
的開集所構成的子集族,則
(
M
,
τ
d
)
{\displaystyle (M,\,\tau _{d})}
也是一拓撲空間。
度量空间
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
中,以点
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
为中心,
ε
{\displaystyle \varepsilon }
为半径的球体
B
(
x
,
ε
)
{\displaystyle B(x,\varepsilon )}
为开集,任意的开集
A
{\displaystyle A}
包含以
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
为中心,充分小的
ε
{\displaystyle \varepsilon }
为半径的球体
B
(
x
,
ε
)
{\displaystyle B(x,\varepsilon )}
。
流形 中的开集为子流形 。开集在拓扑学 分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间 和其他拓扑结构(处理邻近性与收敛 此類概念,比如度量空间 和一致空间 )時,都會用到开集的概念。
拓扑空间X 的每個子集 A 都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A 的内部 。它可以通过取包含在A 中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间X 和Y ,从X 到Y 的函数 f 是连续 的,如果在Y 中的所有开集的前像 是在X 中的开集。映射f 被叫做开映射 ,如果在X 中的所有开集的像 是Y 中的开集。
实直线 上的开集都是可数個不相交开区间的并集。