開映射和閉映射
在數學的拓撲學中,開映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何開集的像都是開集;閉映射是兩個拓撲空間之間的映射,使得任何閉集的像都是閉集。所以f: X → Y是開映射(閉映射),如果X中的開集(閉集)在f下的像都為Y的開集(閉集)。
開映射和閉映射的定義中,並不要求映射連續。與之比較,映射f: X → Y為連續映射的定義,是所有Y的開集的原像為X的開集,也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然開映射和閉映射的定義,似較連續映射為自然,但在拓撲學中其重要性不及連續映射。
例子
[编辑]- 定義連續函數f: R → R為f(x)=x2,則f是閉映射,但不是開映射。
- 任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚,若且唯若映射是開映射,或等價地,若且唯若映射是閉映射。
- X上的恆等映射是一個同胚,故為既開且閉的。但如果X是Y的子空間,則僅當X在Y中為開集(閉集)時,從X到Y的包含映射是開映射(閉映射)。故此映射的到達域需要指明,以辨別映射是否為開或閉映射。
- 定義從[0,2π)到單位圓(視為R2中的圓,原點為圓心)的函數:在[0,2π)中的θ所對應的值,是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的,所以其從單位圓到[0,2π)的逆函數是既開且閉的。這個逆函數將緊緻的單位圓,映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性,這點與連續映射不同。
- 對於任何拓撲空間的積X = Π Xi,由積拓撲的定義,其投射pi: X → Xi是開且連續的。不過這投射不一定是閉的:例如令p1: R2 → R是從R2到x軸上的投射,並設A是函數f(x)=1/x的圖像,即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那麼A是R2中的閉集,但p1(A)不是x軸中的閉集。不過若Y為緊緻集,則投射X × Y → X是閉映射。
性質
[编辑]一個映射f: X → Y是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何(任意小的)鄰域U,都存在f(x)的鄰域V使得V ⊂ f(U)。因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集,則f是開映射。
開映射和閉映射的定義,可用內部算子和閉包算子表達如下:設f: X → Y是映射。
- f是開映射,若且唯若對任何A ⊆ X,有f(A°) ⊆ f(A)°。
- f是閉映射,若且唯若對任何A ⊆ X,有f(A−) ⊆ f(A)−。
兩個開映射的積是開映射,但兩個閉映射的積未必是閉映射。(例如取前述的投射p1: R2 → R,視之為兩個映射f和g的積,其中f是x軸上的恆等函數,g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函數。f和g為閉映射,但p1不是。)
一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射,其逆映射是雙射的既開且閉映射,反之亦然。
一個滿射的開映射不一定是閉映射,同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射,
設f是連續映射,且是開的或閉的,那麼
f為開或閉映射的條件,對前兩項只是充分條件,對第三項也是必要條件。
特徵定理
[编辑]有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。
閉映射引理指,從緊緻集X到豪斯多夫空間Y的連續映射f: X → Y都是閉且逆緊(緊緻集的原像都為緊緻)。這結果的一個變化指,局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊,則這映射是閉映射。
泛函分析中的開映射定理指,巴拿赫空間之間的連續線性算子若是滿射,則為開映射。
複分析中的開映射定理指,在複平面的連通開子集上定義的非常數全純函數是開映射。
區域不變性定理指,兩個n維拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射。
參考
[编辑]- Munkres, James R. Topology 2nd. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
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