本条目中,向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。 四維矢量用加有標號的斜體 顯示。例如,
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
或
x
μ
{\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}
。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,
(
x
)
2
{\displaystyle (x)^{2}\,\!}
表示
x
{\displaystyle x\,\!}
平方;而
x
2
{\displaystyle {x}^{2}\,\!}
是
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}
的第二個分量。 在相對論 裏,四維向量 (four-vector )是實值四維向量空間 裏的矢量 。這四維向量空間 稱為閔考斯基時空 。四維向量的分量分別為在某個時間 點與三維空間 點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點,都代表一個「事件」,可以用四維向量表示。從任意慣性參考系 觀察某事件所獲得的四維向量,通過勞侖茲變換 ,可以變換為從其它慣性參考系 觀察該事件所獲得的四維向量。
本文章只思考在狹義相對論 範圍內的四維向量,儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論 。在本文章內寫出的一些結果,必須加以修改,才能在廣義相對論範圍內成立。
在閔考斯基時空裡,不同慣性參考系的座標軸 在閔考斯基時空 內的任何一點,都可以用四維向量(一組標準基底 的四個坐標)
x
μ
=
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle {x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})}
來表示;其中,上標
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mu =0,\,1,\,2,\,3}
標記時空 的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」,又稱「四維坐標」,定義為
x
μ
=
d
e
f
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (ct,\,x,\,y,\,z)}
;其中,
c
{\displaystyle c}
是光速 ,
t
{\displaystyle t}
是時間,
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z)}
是位置的三維直角坐標 。
為了確使每一個坐標的單位都是長度單位,定義
x
0
=
d
e
f
c
t
{\displaystyle {x}^{0}\ {\stackrel {def}{=))\ ct}
。
「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖 裏,四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點 時,位移就是位置。四維位移
Δ
x
μ
{\displaystyle \Delta {x}^{\mu ))
表示為
Δ
x
μ
=
d
e
f
(
Δ
c
t
,
Δ
x
,
Δ
y
,
Δ
z
)
{\displaystyle \Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}
。帶有上標的四維向量
U
μ
{\displaystyle {U}^{\mu ))
稱為反變 矢量,其分量標記為
U
μ
=
(
U
0
,
U
1
,
U
2
,
U
3
)
{\displaystyle {U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})}
。假若,標號是下標,則稱四維向量
U
μ
{\displaystyle {U}_{\mu ))
為協變 矢量。其分量標記為
U
μ
=
(
U
0
,
U
1
,
U
2
,
U
3
)
=
(
U
0
,
−
U
1
,
−
U
2
,
−
U
3
)
{\displaystyle {U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})}
。在這裡,閔考斯基度規
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu ))
被設定為
η
μ
ν
=
d
e
f
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix))\right)}
。採用愛因斯坦求和約定 ,則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為
U
μ
=
η
μ
ν
U
ν
{\displaystyle U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu ))
。閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」
η
μ
ν
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu ))
相等:
η
μ
ν
=
d
e
f
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix))\right)}
。給予兩個慣性參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
;相對於參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
,參考系
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
以速度
v
=
v
x
^
{\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} ))}
移動。對於這兩個參考系,相關的「勞侖茲變換矩陣」
Λ
μ
ν
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu ))
是
Λ
μ
ν
=
(
γ
−
γ
β
0
0
−
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
;其中,
γ
=
1
1
−
(
v
c
)
2
{\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c))\right)^{2))))}
是勞侖茲因子 ,
β
=
v
c
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c))}
是「貝塔因子」。
對於這兩個參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
,假設一個事件的四維坐標分別為
x
μ
{\displaystyle {x}^{\mu ))
、
x
¯
μ
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu ))
。那麼,這兩個四維坐標之間的關係為
x
¯
μ
=
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu ))
、
x
μ
=
Λ
¯
μ
ν
x
¯
ν
{\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x))^{\nu ))
;其中,
Λ
¯
μ
ν
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu ))
是
Λ
μ
ν
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu ))
的反矩阵 ,
Λ
¯
μ
ν
=
(
γ
γ
β
0
0
γ
β
γ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
。將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一,則可得到
x
¯
μ
=
Λ
μ
ν
x
ν
=
Λ
μ
ν
Λ
¯
ν
ξ
x
¯
ξ
{\displaystyle {\bar {x))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda ))^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x))^{\xi ))
。因此,可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性:
Λ
μ
ν
Λ
¯
ν
ξ
=
δ
μ
ξ
{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda ))^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi ))
;其中,
δ
μ
ξ
{\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi ))
是克羅內克函數 。
另外一個很有用的特性為
Λ
¯
μ
ν
=
η
α
ν
η
β
μ
Λ
α
β
{\displaystyle {\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta ))
;給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標,通過勞侖茲變換,就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時,所涉及的四維向量,最好都能夠具有這有用的性質。這樣,可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示,對於兩個參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
、
S
¯
{\displaystyle {\bar {\mathcal {S))))
,具有這種有用性質的四維向量
U
μ
{\displaystyle {U}^{\mu ))
、
U
¯
μ
{\displaystyle {\bar {U))^{\mu ))
滿足
U
¯
μ
=
Λ
μ
ν
U
ν
{\displaystyle {\bar {U))^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu ))
、
U
μ
=
Λ
¯
μ
ν
U
¯
ν
{\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda ))^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U))^{\nu ))
。在計算這四維向量對於時間的導數時,若能選擇固有時 為時間變數,則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為,固有時乃是個不變量 ;改變慣性參考系不會改變不變量。
假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡,物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻,選擇與物體同樣運動的慣性參考系,稱為「瞬間共動參考系」(momentarily comoving reference frame)。在這瞬間共動參考系裡,物體的速度為零,因此,這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向,新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。[1] :41-42 隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時,標記為
τ
{\displaystyle \tau }
。這就好像給物體掛戴一隻手錶,隨著物體的運動,手錶也會做同樣的運動,而手錶所紀錄的時間就是固有時。
這物體的運動可以用一條世界線
x
(
τ
)
{\displaystyle x(\tau )}
來描述。由於時間膨脹 ,發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔
Δ
τ
{\displaystyle \Delta \tau }
與從別的慣性參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
所觀測到的微小時間間隔
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
的關係為
Δ
t
=
γ
Δ
τ
{\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau }
。所以,固有時
τ
{\displaystyle \tau }
對於其它時間
t
{\displaystyle t}
的導數為
d
τ
d
t
=
1
γ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t))={\frac {1}{\gamma ))}
。在閔考斯基空間裡,兩個四維向量
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
與
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的內積 ,稱為閔考斯基內積 ,以方程式表示為:
U
μ
V
μ
=
d
e
f
U
0
V
0
−
U
1
V
1
−
U
2
V
2
−
U
3
V
3
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3))
。由於這內積並不具正定性 ,即
U
μ
U
μ
=
(
U
0
)
2
−
(
U
1
)
2
−
(
U
2
)
2
−
(
U
3
)
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2))
可能會是負數;而歐幾里得內積 一定不是負數。
許多學者喜歡使用相反正負號的
η
{\displaystyle \eta }
:
η
μ
ν
=
d
e
f
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix))\right)}
。這樣,
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
與
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的內積改變為
U
μ
V
μ
=
−
U
0
V
0
+
U
1
V
1
+
U
2
V
2
+
U
3
V
3
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3))
。其它相聯的量值也會因而改變正負號,但這不會改變系統的物理性質。
從參考系
S
{\displaystyle {\mathcal {S))}
改換至另一參考系
S
¯
{\displaystyle {\overline {\mathcal {S))))
,
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
與
V
μ
{\displaystyle V_{\mu ))
的內積為
U
μ
V
μ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
V
β
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
Λ
¯
β
ξ
V
¯
ξ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
η
μ
β
Λ
¯
β
ξ
η
ξ
ζ
V
¯
ζ
=
Λ
¯
μ
α
U
¯
α
Λ
¯
ζ
μ
V
¯
ζ
=
δ
ζ
α
U
¯
α
V
¯
ζ
=
U
¯
α
V
¯
α
{\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda ))^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V))^{\xi }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda ))^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V))_{\zeta }={\overline {\Lambda ))^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ {\overline {\Lambda ))^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V))_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U))^{\alpha }\ {\overline {V))_{\zeta }={\overline {U))^{\alpha }{\overline {V))_{\alpha ))
。所以,在閔考斯基時空內,兩個四維向量的內積是個不變量 :[1] :44-46
U
μ
V
μ
=
U
¯
μ
V
¯
μ
{\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U))^{\mu }{\overline {V))_{\mu ))
。四維向量可以分類為類時 ,類空 ,或類光 (零矢量 ):
類時矢量:
U
μ
U
μ
>
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0}
,
類空矢量:
U
μ
U
μ
<
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0}
,
類光矢量:
U
μ
U
μ
=
0
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0}
。 設想一個物體運動於閔考斯基時空,則其世界線的任意事件
x
μ
(
τ
)
{\displaystyle x^{\mu }(\tau )}
的四維速度
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
定義為[1] :46-48
U
μ
=
d
e
f
d
x
μ
d
τ
=
d
t
d
τ
d
x
μ
d
t
=
(
γ
c
,
γ
u
)
{\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau ))\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu )){\mathrm {d} t))=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)}
;其中,
u
=
(
d
x
1
d
t
,
d
x
2
d
t
,
d
x
3
d
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1)){\mathrm {d} t)),\,{\frac {\mathrm {d} x^{2)){\mathrm {d} t)),\,{\frac {\mathrm {d} x^{3)){\mathrm {d} t))\right)}
是三維速度 ,或經典速度矢量。
U
μ
{\displaystyle U^{\mu ))
的空間部分與經典速度
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
的關係為
(
U
1
,
U
2
,
U
3
)
=
γ
u
{\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} }
。四維速度與自己的內積等於光速平方,是一個不變量:
U
μ
U
μ
=
c
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2))
。在物體的瞬間共動參考系裡,物體的速度為零,因此,四維速度為
(
c
,
0
,
0
,
0
)
M
C
R
F
{\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF))
,其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量
e
^
0
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
M
C
R
F
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} ))_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF))
同向;
其中,
M
C
R
F
{\displaystyle MCRF}
表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。
四維加速度
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
定義為 [1] :46-48
α
μ
=
d
e
f
d
U
μ
d
τ
=
(
γ
γ
˙
c
,
γ
γ
˙
u
+
γ
2
u
˙
)
{\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))=\left(\gamma {\dot {\gamma ))c,\,\gamma {\dot {\gamma ))\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} ))\right)}
。經過一番運算,可以得到勞侖茲因子對於時間的導數:
γ
˙
=
d
γ
d
t
=
γ
3
(
u
⋅
a
)
/
c
2
{\displaystyle {\dot {\gamma ))={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t))=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2))
;其中,
a
=
d
u
d
t
{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t))}
是經典加速度 。
所以,四維加速度
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
可以表示為
α
μ
=
(
γ
4
(
u
⋅
a
)
/
c
,
γ
2
a
+
γ
4
(
u
⋅
a
)
u
/
c
2
)
{\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}
。由於
U
μ
U
μ
{\displaystyle U_{\mu }U^{\mu ))
是個常數,四維加速度與四維速度相互正交 ;也就是說,四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零:
α
μ
U
μ
=
1
2
d
(
U
μ
U
μ
)
d
τ
=
0
{\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2)){\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau ))=0}
。對於每一條世界線,這計算結果都成立。
注意到在瞬間共動參考系裡,
U
μ
{\displaystyle U_{\mu ))
只有時間分量不等於零,所以,
α
μ
{\displaystyle \alpha ^{\mu ))
為的時間分量為零:
α
μ
=
(
0
,
γ
2
a
)
M
C
R
F
{\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF))
。一個靜止質量 為
m
{\displaystyle m}
的粒子的四維動量
P
μ
{\displaystyle P^{\mu ))
定義為
P
μ
=
d
e
f
m
U
μ
=
(
γ
m
c
,
γ
m
u
)
{\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)}
。經典動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
定義為
p
=
d
e
f
m
r
e
l
u
=
γ
m
u
{\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=))\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} }
;其中,
m
r
e
l
{\displaystyle m_{rel))
是相對論性質量。
所以,
P
μ
{\displaystyle P^{\mu ))
的空間部分等於經典動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
:
(
P
1
,
P
2
,
P
3
)
=
p
{\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} }
。作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數:
F
μ
=
d
e
f
d
P
μ
d
τ
{\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))}
。提出四維動量內的靜止質量因子,即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度:
F
μ
=
m
d
U
μ
d
τ
=
m
α
μ
{\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu )){\mathrm {d} \tau ))=m\alpha ^{\mu ))
。因此,四維力可以表示為
F
μ
=
m
(
γ
4
(
u
⋅
a
)
/
c
,
γ
2
a
+
γ
4
(
u
⋅
a
)
u
/
c
2
)
{\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}
。經典力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
定義為
f
=
d
e
f
d
p
d
t
{\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=))\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t))}
。所以,
F
μ
{\displaystyle F^{\mu ))
的空間部分等於
γ
f
{\displaystyle \gamma \mathbf {f} }
:
(
F
1
,
F
2
,
F
3
)
=
γ
f
{\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} }
。在四維向量的表述裏,存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係,可以顯示出這表述的功能與精緻。
假設,在微小時間間隔
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
,一個運動於時空的粒子,感受到作用力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
的施加,而這粒子的微小位移為
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }
。那麼,作用力
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
對於這粒子所做的微小機械功
d
W
{\displaystyle \mathrm {d} W}
為
d
W
=
f
⋅
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
。因此,這粒子的動能 的改變
d
K
{\displaystyle \mathrm {d} K}
為
d
K
=
d
W
=
f
⋅
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }
。粒子的動能
K
{\displaystyle K}
對於時間的導數為
d
K
d
t
=
f
⋅
d
x
d
t
=
f
⋅
u
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t))=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t))=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }
。將前面經典力和經典速度的公式帶入,可以得到
d
K
d
t
=
m
γ
3
(
u
⋅
a
)
=
m
c
2
d
γ
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t))=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t))}
。這公式的反微分為
K
=
γ
m
c
2
+
K
0
{\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0))
。當粒子靜止時,動能等於零。所以,
K
=
γ
m
c
2
−
m
c
2
{\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2))
。這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量
E
0
=
d
e
f
m
c
2
{\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=))\ mc^{2))
。動能
K
{\displaystyle K}
加上靜止能量
E
0
{\displaystyle E_{0))
等於總能量
E
{\displaystyle E}
:
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2))
。再加簡化,以相對論性質量
m
r
e
l
{\displaystyle m_{rel))
表示:
E
=
m
r
e
l
c
2
{\displaystyle E=m_{rel}c^{2))
。這方程式稱為質能方程式 。
使用質能方程式
E
=
m
r
e
l
c
2
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2))
,四維動量可以表示為
P
μ
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c)),\,\mathbf {p} \right)}
。四維動量與自己的內積為
P
μ
P
μ
=
E
2
c
2
−
(
p
)
2
{\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2)){c^{2))}-(p)^{2))
。改以四維速度來計算內積:
P
μ
P
μ
=
m
2
U
μ
U
μ
=
m
2
c
2
{\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2))
。所以,能量-動量關係式為
E
2
=
(
p
c
)
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4))
。在電磁學 裏,四維電流密度
J
μ
{\displaystyle J^{\mu ))
是一個四維向量,定義為
J
μ
=
d
e
f
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}
;其中,
ρ
{\displaystyle \rho }
是電荷密度 ,
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
是三維電流密度 。
在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度,稱為固有電荷密度
ρ
0
=
ρ
/
γ
{\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma }
。四維電流密度與四維速度的關係為
J
μ
=
ρ
0
U
μ
{\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu ))
。電荷守恆定律 能以三維矢量表示為
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
j
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}
。這定律也能以四維電流密度表示為
∂
J
μ
∂
x
μ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu )){\partial x^{\mu ))}=0}
。從這方程式,可以推論四維電流密度的四維散度 等於零。
電磁四維勢是由電勢
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
與矢量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
共同形成的,定義為
A
μ
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=))\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}
。黎曼-索末菲方程式 表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係[2] :
◻
A
μ
=
μ
0
J
μ
{\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu ))
;其中,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0))
是磁常數 ,
◻
=
∂
2
=
∂
α
∂
α
=
(
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
)
{\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2))}\ {\frac {\partial ^{2)){\partial t^{2))}-\nabla ^{2}\right)}
是達朗貝爾算符 ,又稱為四維拉普拉斯算符 。
一個平面電磁波 的四維頻率
ν
μ
{\displaystyle {\nu }^{\mu ))
定義為
ν
α
=
d
e
f
(
f
,
f
n
)
{\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=))\ (f,\,f\mathbf {n} )}
;其中,
f
{\displaystyle f}
是電磁波的頻率 ,
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。
四維頻率與自己的內積永遠等於零:
ν
α
ν
α
=
(
f
)
2
(
1
−
n
2
)
=
0
{\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}
。一個近單色光 的波包 的波動性質可以用四維波矢量
K
α
{\displaystyle {K}^{\alpha ))
來描述:
K
α
=
d
e
f
(
2
π
f
c
,
k
)
{\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=))\ \left({\frac {2\pi f}{c)),\,\mathbf {k} \right)}
。其中,
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
是三維波矢量 。
四維波矢量與四維頻率之間的關係為
K
α
=
2
π
ν
α
c
{\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha )){c))}
。基礎概念 现象 時空 運動學 動力學 歷史背景 科學家 相關理論方法