斯特恩-革拉赫實驗 儀器,可以將入射的銀原子束,分裂成兩道銀原子束,一道銀原子束的
S
z
{\displaystyle S_{z))
為上旋,另一道銀原子束的
S
z
{\displaystyle S_{z))
為下旋。在這裏,
S
z
{\displaystyle S_{z))
是可觀察量。在物理學 裏,特別是在量子力學 裏,處於某種狀態的物理系統,它所具有的一些性質,可以經過一序列的物理運作過程 而得知。這些可以得知的性質,稱為可觀察量 (observable )。例如,物理運作可能涉及到施加電磁場 於物理系統,然後使用實驗儀器測量某物理量 的數值。在經典力學 的系統裏,任何可以用實驗測量獲得的可觀察量,都可以用定義於物理系統狀態的實函數 來表示。在量子力學裏,物理系統的狀態稱為量子態 ,其與可觀察量的關係更加微妙,必須使用線性代數 來解釋。根據量子力學的數學表述 ,量子態可以用存在於希爾伯特空間 的態向量 來代表,量子態的可觀察量可以用厄米算符 來代表。
假設,物理量
O
{\displaystyle O}
是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符
O
^
{\displaystyle {\hat {O))}
,可能有很多不同的本徵值
O
i
{\displaystyle O_{i))
與對應的本徵態
|
e
i
⟩
{\displaystyle |e_{i}\rangle }
,這些本徵態
|
e
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
,形成了具有正交歸一性 的基底 :[ 1] :96-99
⟨
e
i
|
e
j
⟩
=
δ
i
j
{\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij))
;其中,
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij))
是克羅內克函數 。
任何描述這量子系統的量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,都可以用這基底的本徵態表示為
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
|
e
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }
;其中,
c
i
=
⟨
e
i
|
ψ
⟩
{\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle }
是複係數,是在量子態
|
e
i
⟩
{\displaystyle |e_{i}\rangle }
裏找到量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的機率幅 。[ 2] :50
假設,量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
等於這些本徵態之中的一個本徵態
|
e
k
⟩
{\displaystyle |e_{k}\rangle }
,則對於這量子系統,測量可觀察量
O
{\displaystyle O}
,得到的結果必定等與本徵值
O
k
{\displaystyle O_{k))
,機率為1,量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
是「確定態」。
根據統計詮釋 ,對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值,測量結果只能是其中一個本徵值,而且,每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態,並且,在之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[ 1] :106-109
假設,某量子系統的量子態為
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
|
e
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle }
。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符
O
^
{\displaystyle {\hat {O))}
的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態
|
e
i
⟩
{\displaystyle |e_{i}\rangle }
,則改變為這本徵態的機率為
p
i
=
|
c
i
|
2
{\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2))
,測量結果是本徵值
O
i
{\displaystyle O_{i))
,得到這本徵值的機率也為
p
i
{\displaystyle p_{i))
。在測量之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是本徵態
|
e
i
⟩
{\displaystyle |e_{i}\rangle }
。
將算符
O
^
{\displaystyle {\hat {O))}
作用於量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,會形成新量子態
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
:
|
ϕ
⟩
=
O
^
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
O
^
|
e
i
⟩
=
∑
i
c
i
O
i
|
e
i
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O))|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle }
。從左邊乘以量子態
⟨
ψ
|
{\displaystyle \langle \psi |}
,經過一番運算,可以得到
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
=
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
O
i
⟨
ψ
|
e
i
⟩
=
∑
i
|
c
i
|
2
O
i
=
∑
i
p
i
O
i
{\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i))
。所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和就是可觀察量
O
{\displaystyle O}
的期望值 :
⟨
O
⟩
=
d
e
f
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
=
∑
i
p
i
O
i
{\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=))\ \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i))
。每一種經過測量而得到的物理量都是實數,因此,可觀察量
O
{\displaystyle O}
的期望值是實數:
⟨
O
⟩
=
⟨
O
⟩
∗
{\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*))
。對於任意量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
,這關係都成立:
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
=
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
∗
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle ^{*))
。根據伴隨算符 的定義,假設
O
^
†
{\displaystyle {\hat {O))^{\dagger ))
是
O
^
{\displaystyle {\hat {O))}
的伴隨算符,則
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
∗
=
⟨
ψ
|
O
^
†
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O))|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O))^{\dagger }|\psi \rangle }
。因此,
O
^
=
O
^
†
{\displaystyle {\hat {O))={\hat {O))^{\dagger ))
。這正是厄米算符 的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[ 1] :96-99
假若兩種可觀察量的對易算符 不等於0,則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」:[ 1] :110-112
[
A
^
,
B
^
]
≠
0
{\displaystyle [{\hat {A)),{\hat {B))]\neq 0}
;其中,
A
^
{\displaystyle {\hat {A))}
、
B
^
{\displaystyle {\hat {B))}
分別是可觀察量
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
的算符。
這兩種算符
A
^
{\displaystyle {\hat {A))}
與
B
^
{\displaystyle {\hat {B))}
絕對不會有共同的基底。一般而言,
A
^
{\displaystyle {\hat {A))}
的本徵態與
B
^
{\displaystyle {\hat {B))}
的本徵態不同[ 註 1] 假設量子系統的量子態為
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
。對於算符
A
^
{\displaystyle {\hat {A))}
,所有本徵值為
a
i
{\displaystyle a_{i))
的本徵態
|
α
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
,形成一個基底。量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可以表示為這組基底本徵態的線性組合 :
|
ψ
⟩
=
∑
i
c
i
|
α
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle }
;其中,
c
i
=
⟨
α
i
|
ψ
⟩
{\displaystyle c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle }
是複係數,是在量子態
|
α
i
⟩
{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }
裏找到量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的機率幅 。[ 2] :50
對於算符
B
^
{\displaystyle {\hat {B))}
,所有本徵值為
b
i
{\displaystyle b_{i))
的本徵態
|
β
i
⟩
,
i
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle |\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n}
,形成了另外一個基底。量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可以表示為這組基底本徵態的線性組合 :
|
ψ
⟩
=
∑
i
d
i
|
β
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle }
;其中,
d
i
=
⟨
β
i
|
ψ
⟩
{\displaystyle d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle }
是複係數,是在量子態
|
β
i
⟩
{\displaystyle |\beta _{i}\rangle }
裏找到量子態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的機率幅 。[ 2] :50
對於量子系統的可觀察量
A
{\displaystyle A}
做測量,可能得到的結果是各種本徵態
|
α
i
⟩
{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }
的本徵值
a
i
{\displaystyle a_{i))
,獲得這些不同結果的機會具有機率性,可以表達為機率分佈 ,結果為
a
i
{\displaystyle a_{i))
的機率是
|
c
i
|
2
{\displaystyle |c_{i}|^{2))
。
假設測量的結果是本徵值
a
j
{\displaystyle a_{j))
,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態
|
α
j
⟩
{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }
。假若立刻再測量可觀察量
A
{\displaystyle A}
,由於量子態仍舊是本徵態
|
α
j
⟩
{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }
,所得到的測量值是本徵值
a
i
{\displaystyle a_{i))
機率為1。假若立刻再對本徵態
|
α
j
⟩
{\displaystyle |\alpha _{j}\rangle }
測量可觀察量
B
{\displaystyle B}
,則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值
b
k
{\displaystyle b_{k))
,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態
|
β
k
⟩
{\displaystyle |\beta _{k}\rangle }
。
根據不確定性原理 ,
Δ
A
Δ
B
≥
|
⟨
[
A
^
,
B
^
]
⟩
2
i
|
{\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A)),{\hat {B))]\rangle }{2i))\right|}
。設定
χ
=
|
⟨
[
A
^
,
B
^
]
⟩
2
i
|
{\displaystyle \chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A)),{\hat {B))]\rangle }{2i))\right|}
。假設,
A
{\displaystyle A}
與
B
{\displaystyle B}
是兩個不相容可觀察量,則
χ
>
0
{\displaystyle \chi >0}
。而
A
{\displaystyle A}
的不確定性與
B
{\displaystyle B}
的不確定性的乘積
Δ
A
Δ
B
{\displaystyle \Delta A\ \Delta B}
,必定大於或等於
χ
{\displaystyle \chi }
。
為了具體計算位置與動量的期望值 ,可以將量子態表現於位置空間,以位置空間的波函數 來表示,使用對應的代數算符。
位置
x
{\displaystyle x}
,動量
p
{\displaystyle p}
都是可觀察量,它們的算符都是厄米算符:
⟨
x
⟩
=
∫
−
∞
∞
ψ
∗
x
ψ
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
x
ψ
)
∗
ψ
d
x
=
⟨
x
⟩
∗
{\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*))
,
⟨
p
⟩
=
∫
−
∞
∞
ψ
∗
(
ℏ
i
∂
∂
x
ψ
)
d
x
=
∫
−
∞
∞
(
ℏ
i
∂
∂
x
ψ
)
∗
ψ
d
x
=
⟨
p
⟩
∗
{\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial x))\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i)){\frac {\partial }{\partial x))\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*))
。在三維空間裏,角動量算符 的x-分量
L
^
x
{\displaystyle {\hat {L))_{x))
是厄米算符。因為
⟨
L
x
⟩
∗
=
⟨
y
p
z
−
z
p
y
⟩
∗
=
⟨
y
p
z
−
z
p
y
⟩
=
⟨
L
x
⟩
{\displaystyle \langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle }
;其中,
y
{\displaystyle y}
與
z
{\displaystyle z}
分別是位置的y-分量與z-分量,
p
y
{\displaystyle p_{y))
與
p
z
{\displaystyle p_{z))
分別是動量的y-分量與z-分量。
類似地,角動量算符的y-分量
L
^
y
{\displaystyle {\hat {L))_{y))
也是厄米算符。
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
^ 2.0 2.1 2.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 (英语)