可测函数 (英語:measurable function )是保持可测空间 結構的函数 ,也是勒貝格積分 中主要討論的函數。
取本節定義中的
Y
{\displaystyle Y}
為实数系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,然後取:
I
=
{
A
∈
P
(
R
)
|
(
∃
a
)
(
∃
b
)
[
(
a
,
b
∈
R
)
∧
(
A
=
(
a
,
b
)
)
]
}
{\displaystyle {\mathcal {I))={\bigg \{}A\in {\mathcal {P))(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \))}
B
R
:=
σ
(
I
)
=
⋂
{
Σ
|
(
Σ
is a sigma algebra.
)
∧
(
I
⊆
Σ
)
}
{\displaystyle {\mathcal {B))_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I)))=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.)))\wedge ({\mathcal {I))\subseteq \Sigma ){\bigg \))}
換句話說,
B
R
{\displaystyle {\mathcal {B))_{\mathbb {R} ))
是由實數開區間 所生成的博雷爾代數 (注意到
I
{\displaystyle {\mathcal {I))}
本身是個拓扑基 ),那麼這樣的
Σ
X
{\displaystyle \Sigma _{X))
-
B
R
{\displaystyle {\mathcal {B))_{\mathbb {R} ))
可測函數
f
{\displaystyle f}
,通常會簡稱為
Σ
X
{\displaystyle \Sigma _{X))
- 實可測函數 ;甚至簡稱為實可測函數 。概率论 裡的随机变量 就是實可測函數。
如果
(
X
,
τ
X
)
{\displaystyle (X,\tau _{X})}
與
(
Y
,
τ
Y
)
{\displaystyle (Y,\tau _{Y})}
正好也是拓撲空間 ,這時取以下兩個最小σ-代数 :
σ
(
τ
X
)
=
⋂
{
Σ
|
(
Σ
is a sigma algebra.
)
∧
(
τ
X
⊆
Σ
)
}
{\displaystyle \sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.)))\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \))}
σ
(
τ
Y
)
=
⋂
{
Σ
|
(
Σ
is a sigma algebra.
)
∧
(
τ
Y
⊆
Σ
)
}
{\displaystyle \sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.)))\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \))}
換句話說,
σ
(
τ
X
)
{\displaystyle \sigma (\tau _{X})}
是由
X
{\displaystyle X}
上开集 所生成的博雷爾代數 ;
σ
(
τ
Y
)
{\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}
是由
Y
{\displaystyle Y}
上开集 所生成的博雷爾代數 ,那這樣
σ
(
τ
X
)
{\displaystyle \sigma (\tau _{X})}
-
σ
(
τ
X
)
{\displaystyle \sigma (\tau _{X})}
可测函数
f
{\displaystyle f}
又称为
τ
X
{\displaystyle \tau _{X))
-
τ
Y
{\displaystyle \tau _{Y))
博雷爾函数 (Borel function)。
根據拓撲空間连续函數 的定義,
τ
X
{\displaystyle \tau _{X))
-
τ
Y
{\displaystyle \tau _{Y))
博雷爾函数必定
τ
X
{\displaystyle \tau _{X))
-
τ
Y
{\displaystyle \tau _{Y))
連續,但反之不成立,原因可見下面可测函数的性质 的定理(2)。
證明
以下將逐條檢驗
Σ
{\displaystyle \Sigma }
是否符合σ代數 的定義
(1)
Y
∈
Σ
{\displaystyle Y\in \Sigma }
因為:
f
−
1
(
Y
)
=
{
x
∈
X
|
(
∃
y
∈
Y
)
[
f
(
x
)
=
y
]
}
=
X
∈
Σ
X
{\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X))
所以
Y
∈
Σ
{\displaystyle Y\in \Sigma }
。
(2)
B
∈
Σ
{\displaystyle B\in \Sigma }
,則
Y
−
B
∈
Σ
{\displaystyle Y-B\in \Sigma }
若
B
∈
Σ
{\displaystyle B\in \Sigma }
,因為:
f
−
1
(
Y
−
B
)
=
{
x
∈
X
|
(
∃
y
)
{
(
y
∈
Y
)
∧
(
y
∉
B
)
∧
[
f
(
x
)
=
y
]
}
}
=
X
−
f
−
1
(
B
)
∈
Σ
X
{\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \))=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X))
所以
Y
−
B
∈
Σ
{\displaystyle Y-B\in \Sigma }
。
(3)可數個并集 仍在
Σ
{\displaystyle \Sigma }
中
若
{
B
1
,
B
2
,
…
}
⊆
Σ
{\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }
,那因為:
f
−
1
(
⋃
{
B
1
,
B
2
,
…
}
)
=
{
x
∈
X
|
(
∃
y
)
{
[
f
(
x
)
=
y
]
∧
(
∃
i
∈
N
)
(
y
∈
B
i
)
}
}
=
⋃
{
f
−
1
(
B
1
)
,
f
−
1
(
B
2
)
,
…
}
∈
Σ
X
{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \))=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X))
所以
⋃
{
B
1
,
B
2
,
…
}
∈
Σ
{\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma }
。
綜上所述,
Σ
{\displaystyle \Sigma }
的確是
Y
{\displaystyle Y}
的σ代數 。
◻
{\displaystyle \Box }
两个可测的实函数的和与积也是可测的。
可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
可测函数的逐点 极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
卢辛定理
勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R ,使得对于每一个实数a ,集合
{
x
∈
R
:
f
(
x
)
>
a
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\))
都是勒贝格可测 的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当 mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积 函数g都是可积的。
不是所有的函数都是可测的。例如,如果
A
{\displaystyle A}
是实数轴
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的一个不可测 子集,那么它的指示函数
1
A
(
x
)
{\displaystyle 1_{A}(x)}
是不可测的。