${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F)))\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of ))X)\wedge ({\mathcal {F))\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\))$ (a)

以下將逐條檢驗σ代数的定義，來驗證 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数：

(1) ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F)))}$

對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数，按照定義理當有 ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的確可以得出 ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F)))}$ 。

(2)若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，則 ${\displaystyle X-A}$ 也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 中

若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，那根據式(a)，對所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 來說，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数 且${\displaystyle {\mathcal {F))\subseteq \Sigma }$，理當有 ${\displaystyle A\in \Sigma }$，所以對所有 ${\displaystyle \Sigma }$ 只要滿足這兩個條件，理當有 ${\displaystyle X-A\in \Sigma }$，所以由式(a)的右方的確有：

${\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F)))]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F)))]\))$

(3)可數個并集也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 中

若 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F)))}$ ，由式(a)，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 滿足(a)左方的兩個條件，就有 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，所以：

${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$

所以再從(a)右方，就可以得到：

${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F)))}$

綜上所述， ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$ 的確是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数。${\displaystyle \Box }$