分母有理化，简称有理化，指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。

有理化后通常方便运算，有理化的过程可能會影響分子，但分子及分母的比例不變。

应用一般根号运算：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a))}={\frac {1{\sqrt {a))}((\sqrt {a)){\sqrt {a))))={\frac {\sqrt {a)){a))}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{a))}={\frac {\sqrt[{n}]{a^{n-1))}{a))}$

应用平方差公式：

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt {a))+{\sqrt {b))))={\frac ((\sqrt {a))-{\sqrt {b))}{a-b))}$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt {a))-{\sqrt {b))))={\frac ((\sqrt {a))+{\sqrt {b))}{a-b))}$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt {a))+b))={\frac ((\sqrt {a))-b}{a-b^{2))))$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt {a))-b))={\frac ((\sqrt {a))+b}{a-b^{2))))$

应用立方和、立方差公式：

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt[{3}]{a))+{\sqrt[{3}]{b))))={\frac ((\sqrt[{3}]{a^{2))}-{\sqrt[{3}]{ab))+{\sqrt[{3}]{b^{2)))){a+b))}$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt[{3}]{a))-{\sqrt[{3}]{b))))={\frac ((\sqrt[{3}]{a^{2))}+{\sqrt[{3}]{ab))+{\sqrt[{3}]{b^{2)))){a-b))}$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt[{3}]{a))+b))={\frac ((\sqrt[{3}]{a^{2))}-{\sqrt[{3}]{a))b+b^{2)){a+b^{3))))$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt[{3}]{a))-b))={\frac ((\sqrt[{3}]{a^{2))}+{\sqrt[{3}]{a))b+b^{2)){a-b^{3))))$

${\displaystyle {\frac {1}((\sqrt {a))+{\sqrt {b))+c))={\frac ((\sqrt {a))-{\sqrt {b))-c}{a-b-c^{2}-2c{\sqrt {b))))}$^[1]

设${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2))}$有理化${\displaystyle {\frac {1}{1+2{\sqrt[{3}]{2))+3{\sqrt[{3}]{4))))}$

${\displaystyle (x^{3}-2)u(x)+(1+2x+3x^{2})v(x)=1}$

${\displaystyle u(x)={\frac {-1}{89))(50+3x),v(x)={\frac {1}{89))(-11+16x+x^{2})}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+2{\sqrt[{3}]{2))+3{\sqrt[{3}]{4))))=v({\sqrt[{3}]{2)))={\frac {1}{89))(-11+16{\sqrt[{3}]{2))+{\sqrt[{3}]{4)))}$^[2]

${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+3x+4}$，求${\displaystyle {\frac {1}{3+2x+x^{2))))$

设${\displaystyle (3+2x+x^{2})(a+bx+cx^{2})=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}&x^{4}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}3&0&0\\2&3&0\\1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}3&0&0\\2&3&4\\1&2&6\\0&1&4\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&x&x^{2}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}3&4&16\\2&6&16\\1&4&14\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&x&x^{2}\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}3&4&16\\2&6&16\\1&4&14\end{pmatrix))^{-1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix))={\frac {1}{22)){\begin{pmatrix}10\\-6\\1\end{pmatrix))}$

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+2x+3))={\frac {x^{2}-6x+10}{22))}$^[2]

• 辗转相除法