立方和的簡單圖解 立方和 是數學公式的一種,它屬於因式分解 、乘法公式 及恆等式 ,被普遍使用。立方和是指一個立方數 ,加上另一個立方數,即是它們的總和。公式如下:[ 1]
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
=
(
a
±
b
)
3
∓
3
a
b
(
a
±
b
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)}
立方和被因式分解後,答案分別包含二項式 及三項式,與立方差相同。
驗證此公式,可透過因式分解,首先設以下公式:
a
2
b
−
a
2
b
+
a
b
2
−
a
b
2
=
0
{\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!}
然後代入:
a
3
+
b
3
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
+
a
2
b
−
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}
透過因式分解,可得:
a
3
+
b
3
=
a
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
+
b
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
這樣便可驗證:
a
3
+
b
3
≡
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
透過和立方 可驗證立方和的原理:
(
x
+
y
)
3
{\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}
那即是只要減去
3
x
2
y
{\displaystyle 3x^{2}y}
及
3
x
y
2
{\displaystyle 3xy^{2))
便可得到立方和,可設:
x
3
+
y
3
=
(
x
+
y
)
3
−
3
x
2
y
−
3
x
y
2
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}
右邊的方程
=
(
x
+
y
)
3
−
3
x
2
y
−
3
x
y
2
{\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!}
運用因式分解的方法:
=
(
x
+
y
)
3
−
3
x
y
(
x
+
y
)
{\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}
=
(
x
+
y
)
[
(
x
+
y
)
2
−
3
x
y
]
{\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}
=
(
x
+
y
)
(
x
2
+
2
x
y
+
y
2
−
3
x
y
)
{\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
這樣便可驗證出:
x
3
+
y
3
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
圖象化
a
3
+
b
3
{\displaystyle a^{3}+b^{3))
透過繪立體的圖像 ,也可驗證立方和。[ 2]
根據右圖,設兩個立方,總和為:
x
3
+
y
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!}
把兩個立方體對角貼在一起,根據虛線,可間接得到:
(
x
+
y
)
3
{\displaystyle (x+y)^{3}\,\!}
要得到
x
3
+
y
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3))
,可使用
(
x
+
y
)
3
{\displaystyle (x+y)^{3))
的空白位置。該空白位置可分割為3個部分:
x
×
y
×
(
x
+
y
)
{\displaystyle x\times y\times (x+y)}
x
×
(
x
+
y
)
×
y
{\displaystyle x\times (x+y)\times y}
(
x
+
y
)
×
y
×
x
{\displaystyle (x+y)\times y\times x}
把三個部分加在一起,便得:
=
x
y
(
x
+
y
)
+
x
y
(
x
+
y
)
+
x
y
(
x
+
y
)
{\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!}
=
3
x
y
(
x
+
y
)
{\displaystyle =3xy(x+y)\,\!}
之後,把
(
x
+
y
)
3
{\displaystyle (x+y)^{3))
減去它,便得:
=
(
x
+
y
)
3
−
3
x
y
(
x
+
y
)
{\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!}
上公式發現兩個數項皆有一個公因子,把它抽出,並得:
=
(
x
+
y
)
[
(
x
+
y
)
2
−
3
x
y
]
{\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!}
(
x
+
y
)
2
{\displaystyle (x+y)^{2))
可透過和平方 公式,得到:
=
(
x
+
y
)
(
x
2
+
2
x
y
+
y
2
−
3
x
y
)
{\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!}
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
這樣便可證明
x
3
+
y
3
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}
透過
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
也可反驗證立方和。
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
=
a
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
+
b
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
=
a
3
−
a
2
b
+
a
b
2
+
a
2
b
−
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!}
=
a
3
+
b
3
{\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!}
以上計算方法亦可簡化為一個表格:
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
x)
+
a
2
{\displaystyle +a^{2))
−
a
b
{\displaystyle -ab}
+
b
2
{\displaystyle +b^{2))
+
a
{\displaystyle +a}
+
a
3
{\displaystyle +a^{3))
−
a
2
b
{\displaystyle -a^{2}b}
+
a
b
2
{\displaystyle +ab^{2))
+
b
{\displaystyle +b}
+
a
2
b
{\displaystyle +a^{2}b}
−
a
b
2
{\displaystyle -ab^{2))
+
b
3
{\displaystyle +b^{3))
這樣便可證明
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}
立方差也可以使用立方和來驗證,例如:
125
u
3
−
343
v
3
{\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!}
把兩個數項都轉為立方數:
=
(
5
u
)
3
−
(
7
v
)
3
{\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!}
運用負正得負,可得:
=
(
5
u
)
3
+
(
−
7
v
)
3
{\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!}
然後運用立方和,可得:
=
[
5
u
+
(
−
7
v
)
]
[
25
u
2
−
(
5
u
)
(
−
7
v
)
+
(
−
7
v
)
2
]
{\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]}
=
(
5
u
−
7
v
)
(
25
u
2
+
35
u
v
+
49
v
2
)
{\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!}
這個方法更可驗證到立方差的公式是
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}
有些整數可以有兩個立方和組合,[ 3]
而最少的,已是過千的1729 。它是兩組不同的立方和:
1729
=
1
3
+
12
3
{\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!}
1729
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!}
下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104 :
4104
=
9
3
+
15
3
{\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!}
4104
=
2
3
+
16
3
{\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!}
首十個兩組立方和的數:1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728