二項式係數可排列成帕斯卡三角形 在數學 上,二項式係數 是二項式定理 中各項的係數 。一般而言,二項式係數由兩個非負整數
n
{\displaystyle n}
和
k
{\displaystyle k}
為參數決定,寫作
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
,定義為
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n))
的多項式展開式中,
x
k
{\displaystyle x^{k))
項的係數 ,因此一定是非負整數。如果將二項式係數
(
n
0
)
,
(
n
1
)
,
…
,
(
n
n
)
{\displaystyle {\binom {n}{0)),{\binom {n}{1)),\dots ,{\binom {n}{n))}
寫成一行,再依照
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
順序由上往下排列,則構成帕斯卡三角形 。
二項式係數常見於各數學領域中,尤其是組合數學 。事實上,
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
可以被理解為從
n
{\displaystyle n}
個相異元素中取出
k
{\displaystyle k}
個元素的方法數,所以
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
大多讀作「
n
{\displaystyle n}
取
k
{\displaystyle k}
」。二項式係數
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
的定義可以推廣至
n
{\displaystyle n}
是複數 的情況,而且仍然被稱為二項式係數。
雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現(見帕斯卡三角形 ),但表達式
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森 首次始用[ 注 1] 。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha 寫的印度教 典籍《宾伽罗 的計量聖典》(chandaḥśāstra)。約1150年,印度數學家婆什迦羅第二 於其著作《Lilavati》[ 注 2] 中給出一個簡單的描述。
二項式係數亦有不同的符號表達方式,包括:
C
(
n
,
k
)
{\displaystyle C(n,k)}
、
n
C
k
{\displaystyle _{n}C_{k))
、
n
C
k
{\displaystyle ^{n}C_{k))
、
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k))
、
C
k
n
{\displaystyle C_{k}^{n))
[ 注 3] ,其中的 C 代表組合(combinations)或選擇(choices)。很多計算機使用含有 C 的變種記號,使得算式只佔一行的空間,相同理由也發生在置換 數
P
k
n
{\displaystyle P_{k}^{n))
,例如寫作 P(n , k )。
對於非負整数
n
{\displaystyle n}
和
k
{\displaystyle k}
,二項式係數
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
定義為
(
1
+
x
)
n
{\displaystyle (1+x)^{n))
的多項式展開式中,
x
k
{\displaystyle x^{k))
項的係數 ,即
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
x
+
⋯
+
(
n
n
)
x
n
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k))x^{k}={\binom {n}{0))+{\binom {n}{1))x+\cdots +{\binom {n}{n))x^{n))
事實上,若
x
{\displaystyle x}
、
y
{\displaystyle y}
為交換環 上的元素,則
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k))x^{n-k}y^{k))
此數的另一出處在組合數學,表達了從
n
{\displaystyle n}
物中,不計較次序取
k
{\displaystyle k}
物有多少方式,亦即從一
n
{\displaystyle n}
元素集合中所能組成
k
{\displaystyle k}
元素子集的數量。此定義與上述定義相同,理由如下:若將冪
(
1
+
X
)
n
{\displaystyle (1+X)^{n))
的
n
{\displaystyle n}
個因數逐一標記為
i
{\displaystyle i}
(從1至
n
{\displaystyle n}
),則任一
k
{\displaystyle k}
元素子集則建構成展式中的一個
X
k
{\displaystyle X^{k))
項,故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此,就任何自然數
n
{\displaystyle n}
和
k
{\displaystyle k}
而言,
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
亦為自然數。此外,二項式係數亦見於很多組合問題的解答中,如由
n
{\displaystyle n}
個位元 (如數字0或1)組成的所有序列中,其和為
k
{\displaystyle k}
的數目為
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
,又如算式
k
=
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n))
,其中每一
a
i
{\displaystyle a_{i))
均為非負整數,則有
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k))}
種寫法。這些例子中,大部分可視作等同於點算
k
{\displaystyle k}
個元素的組合的數量。
除展開二項式或點算組合數量之外,尚有多種方式計算
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
的值。
以下遞歸 公式可計算二項式係數:
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
∀
n
,
k
∈
N
{\displaystyle {\binom {n}{k))={\binom {n-1}{k-1))+{\binom {n-1}{k))\quad \forall n,k\in \mathbb {N} }
其中特別指定:
(
n
0
)
=
1
∀
n
∈
N
∪
{
0
}
,
{\displaystyle {\binom {n}{0))=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},}
(
0
k
)
=
0
∀
k
∈
N
.
{\displaystyle {\binom {0}{k))=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .}
此公式可由計算
(
1
+
x
)
n
−
1
(
1
+
x
)
{\displaystyle (1+x)^{n-1}(1+x)}
中的
x
k
{\displaystyle x^{k))
項,或點算集合
{
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \left\{1,2,\cdots ,n\right\))
的
k
{\displaystyle k}
個元素組合中包含
n
{\displaystyle n}
與不包含
n
{\displaystyle n}
的數量得出。
顯然,如果
k
>
n
{\displaystyle k>n}
,則
(
n
k
)
=
0
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))=0}
。而且對所有
n
{\displaystyle n}
,
(
n
n
)
=
1
{\displaystyle {\tbinom {n}{n))=1}
,故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形 。
個別二項式係數可用以下公式計算:
(
n
k
)
=
n
k
_
k
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
[
n
−
(
k
−
1
)
]
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1
=
∏
i
=
1
k
n
−
(
k
−
i
)
i
,
{\displaystyle {\binom {n}{k))={\frac {n^{\underline {k))}{k!))={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1))=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i)),}
上式中第一個分數的分子是一階乘冪 。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解:分子為從
n
{\displaystyle n}
個元素中取出
k
{\displaystyle k}
個元素的序列之數量,當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的
k
{\displaystyle k}
個元素可有多少種排序方式。
二項式係數最簡潔的表達式是階乘 :
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
for
0
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle {\binom {n}{k))={\frac {n!}{k!\,(n-k)!))\quad {\mbox{for ))\ 0\leq k\leq n.}
其中「
n
!
{\displaystyle n!}
」是
n
{\displaystyle n}
的階乘,此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle (n-k)!}
取得,所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子,否則以此公式進行計算時較率欠佳,尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
for
0
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle {\binom {n}{k))={\binom {n}{n-k))\quad {\mbox{for ))\ 0\leq k\leq n.}
1
若將
n
{\displaystyle n}
換成任意數值(負數、實數或複數)
α
{\displaystyle \alpha }
,甚至是在任何能為正整數給出逆元素 的交換環 中的一元素,則二項式係數可籍乘數公式擴展[ 注 4] :
(
α
k
)
=
α
k
_
k
!
=
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1
for
k
∈
N
and arbitrary
α
.
{\displaystyle {\binom {\alpha }{k))={\frac {\alpha ^{\underline {k))}{k!))={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1))\quad {\mbox{for ))k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary ))\alpha .}
此定義能使二項式公式一般化(其中一單項為1),故
(
α
k
)
{\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k))}
仍能相稱地稱作二項式係數:
(
1
+
X
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
X
k
.
{\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}
2
此公式對任何複數
α
{\displaystyle \alpha }
及
X
{\displaystyle X}
,
|
X
|
<
1
{\displaystyle \left\vert X\right\vert <1}
時成立,故此亦可視作
X
{\displaystyle X}
的冪級數 的恆等式,即係數為常數1,任意冪之級數定義,且在此定義下,對於冪的恆等式成立,例如
(
1
+
X
)
α
(
1
+
X
)
β
=
(
1
+
X
)
α
+
β
and
(
(
1
+
X
)
α
)
β
=
(
1
+
X
)
α
β
.
{\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and))\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.}
若
α
{\displaystyle \alpha }
是一非負整數
n
{\displaystyle n}
,則所有
k
>
n
{\displaystyle k>n}
的項為零,此無窮級數變成有限項的和,還原為二項式公式,但對於
α
{\displaystyle \alpha }
的其他值,包括負數和有理數,此級數為無窮級數。
帕斯卡三角形的第1000行,垂直排列,且以灰階表示係數的十進制數位,向右對齊,故左邊邊界約是二項式係數的對數,圖中可見數族形成一對數凹數列 帕斯卡法則 是一重要的遞歸 等式:
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
,
{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},}
3
此式可以用於數學歸納法 ,以証明
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
對於所有
n
{\displaystyle n}
和
k
{\displaystyle k}
均為自然數(等同於証明
k
!
{\displaystyle k!}
為所有
k
{\displaystyle k}
個連續整數之積的因數),此特性並不易從公式(1) 中得出。
帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形 :
0:
1
1:
1
1
2:
1
2
1
3:
1
3
3
1
4:
1
4
6
4
1
5:
1
5
10
10
5
1
6:
1
6
15
20
15
6
1
7:
1
7
21
35
35
21
7
1
8:
1
8
28
56
70
56
28
8
1
第
n
{\displaystyle n}
橫行列出
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
的
k
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle k=0,\ldots ,n}
項,其建構方法為在外邊填上1,然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下,此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數,例如從第5橫行可馬上得出
(
x
+
y
)
5
=
1
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
1
y
5
{\displaystyle (x+y)^{5}={\boldsymbol {1))x^{5}+{\boldsymbol {5))x^{4}y+{\boldsymbol {10))x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10))x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5))xy^{4}+{\boldsymbol {1))y^{5))
在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值,此乃上述遞歸等式(3 )的延伸意義。
二項式係數是組合數學 中的重要課題,因其可用於眾多常見的點算問題中,例如
共有
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
種方式從
n
{\displaystyle n}
元素中選取
k
{\displaystyle k}
項。見組合 。
共有
(
n
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k))}
種方式從一個
n
{\displaystyle n}
元素集合中選取(容許重覆選取)
k
{\displaystyle k}
元素建立多重集 。
共有
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+k}{k))}
個字符串 包含
k
{\displaystyle k}
個1和
n
{\displaystyle n}
個零。
共有
(
n
+
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n+1}{k))}
個字符串包含
k
{\displaystyle k}
個1和
n
{\displaystyle n}
個零,且沒有兩個1相鄰。[ 参 1]
卡塔蘭數 是
(
2
n
n
)
n
+
1
{\displaystyle {\frac {\tbinom {2n}{n)){n+1))}
統計學 中的二項式分佈 是
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))p^{k}(1-p)^{n-k}\!}
貝茲曲線 的公式。就任就非負整數
k
{\displaystyle k}
,
(
t
k
)
{\displaystyle \scriptstyle {\binom {t}{k))}
可表達為一多項式除以
k
!
{\displaystyle k!}
:
(
t
k
)
=
(
t
)
k
k
!
=
(
t
)
k
(
k
)
k
=
t
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
⋯
(
t
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
(
2
)
(
1
)
;
{\displaystyle {\binom {t}{k))={\frac {(t)_{k)){k!))={\frac {(t)_{k)){(k)_{k))}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)));\,\!}
此為帶有理數 係數,變量是
t
{\displaystyle t}
的多項式 ,可對任意實數或複數
t
{\displaystyle t}
運算以得出二項式係數,此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理 。
就任意
k
{\displaystyle k}
,多項式
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k))}
可看成是惟一的
k
{\displaystyle k}
次多項式
p
(
t
)
{\displaystyle p(t)}
滿足
p
(
0
)
=
p
(
1
)
=
…
=
p
(
k
−
1
)
=
0
{\displaystyle p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0}
及
p
(
k
)
=
1
{\displaystyle p(k)=1}
.
其係數可以第一類斯特靈數 表示,即:
(
t
k
)
=
∑
i
=
0
k
s
k
,
i
k
!
t
i
{\displaystyle {\binom {t}{k))=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i)){k!))t^{i))
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k))}
之導數 可以對數微分 計算:
d
d
t
(
t
k
)
=
(
t
k
)
∑
i
=
0
k
−
1
1
t
−
i
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\binom {t}{k))={\binom {t}{k))\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i))\,.}
在任何包含Q 的域 中,最多
d
{\displaystyle d}
階的多項式有惟一的線性組合
∑
k
=
0
d
a
k
(
t
k
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k))}
。係數
a
k
{\displaystyle a_{k))
是數列
p
(
0
)
,
p
(
1
)
,
…
,
p
(
k
)
{\displaystyle p(0),p(1),\ldots ,p(k)}
的第k 差分 ,亦即:
[ 注 5]
a
k
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
k
−
i
(
k
i
)
p
(
i
)
.
{\displaystyle a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i))p(i).}
3.5
每一多項式
(
t
k
)
{\displaystyle {\tbinom {t}{k))}
在整數參數時均是整數值(可在
k
{\displaystyle k}
上,用帕斯卡法則 以歸納法証明)。故此,二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之,(3.5 )表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言,對於一個特徵0域
k
{\displaystyle k}
的任何子環
R
{\displaystyle R}
,在
K
[
t
]
{\displaystyle K[t]}
內的多項式在整數參數時之值均在
R
{\displaystyle R}
內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的
R
{\displaystyle R}
-線性組合。
整數值多項式
3
t
(
3
t
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2))}
可表達作:
9
(
t
2
)
+
6
(
t
1
)
+
0
(
t
0
)
{\displaystyle 9{\tbinom {t}{2))+6{\tbinom {t}{1))+0{\tbinom {t}{0))}
从
t
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle t=1,2,3}
时
3
t
(
3
t
+
1
)
2
=
6
,
21
,
45
{\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2))=6,21,45}
用帕斯卡矩阵 的逆 可算出:
(
(
t
−
1
0
)
(
t
−
1
1
)
(
t
−
1
2
)
)
(
1
0
0
−
1
1
0
1
−
2
1
)
(
6
21
45
)
=
(
(
t
−
1
0
)
(
t
−
1
1
)
(
t
−
1
2
)
)
(
6
15
9
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0))&{\tbinom {t-1}{1))&{\tbinom {t-1}{2))\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0))&{\tbinom {t-1}{1))&{\tbinom {t-1}{2))\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix))}
=
6
(
t
−
1
0
)
+
15
(
t
−
1
1
)
+
9
(
t
−
1
2
)
=
6
(
t
1
)
+
9
(
t
2
)
{\displaystyle =6{\tbinom {t-1}{0))+15{\tbinom {t-1}{1))+9{\tbinom {t-1}{2))=6{\tbinom {t}{1))+9{\tbinom {t}{2))}
这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式 应用于等幂求和 。
階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數,例如在
k
{\displaystyle k}
是正整數時,對任意
n
{\displaystyle n}
有:
(
n
+
1
k
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n+1}{k))={\binom {n}{k))+{\binom {n}{k-1))}
(
n
k
)
=
n
k
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k))={\frac {n}{k)){\binom {n-1}{k-1))}
(
n
−
1
k
)
−
(
n
−
1
k
−
1
)
=
n
−
2
k
n
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\binom {n-1}{k))-{\binom {n-1}{k-1))={\frac {n-2k}{n)){\binom {n}{k)).}
两个组合数相乘可作变换:
(
n
i
)
(
i
m
)
=
(
n
m
)
(
n
−
m
i
−
m
)
{\displaystyle {\binom {n}{i)){\binom {i}{m))={\binom {n}{m)){\binom {n-m}{i-m))}
[ 参 2]
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r))=2^{n))
∑
r
=
0
k
(
n
+
r
−
1
r
)
=
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r))={\binom {n+k}{k))}
∑
r
=
0
n
−
k
(
−
1
)
r
(
n
+
1
)
k
+
r
+
1
(
n
−
k
r
)
=
(
n
k
)
−
1
{\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1)){\binom {n-k}{r))={\binom {n}{k))^{-1))
∑
r
=
0
n
(
d
n
d
r
)
=
1
d
∑
r
=
1
d
(
1
+
e
2
π
r
i
d
)
d
n
{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr))={\frac {1}{d))\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d)))^{dn))
[ 参 3]
∑
i
=
m
n
(
a
+
i
i
)
=
(
a
+
n
+
1
n
)
−
(
a
+
m
m
−
1
)
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i))={\binom {a+n+1}{n))-{\binom {a+m}{m-1))}
(
a
+
m
m
−
1
)
+
(
a
+
m
m
)
+
(
a
+
m
+
1
m
+
1
)
+
.
.
.
+
(
a
+
n
n
)
=
(
a
+
n
+
1
n
)
{\displaystyle {\binom {a+m}{m-1))+{\binom {a+m}{m))+{\binom {a+m+1}{m+1))+...+{\binom {a+n}{n))={\binom {a+n+1}{n))}
F
n
=
∑
i
=
0
∞
(
n
−
i
i
)
{\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i))}
[ 参 4]
F
n
−
1
+
F
n
=
∑
i
=
0
∞
(
n
−
1
−
i
i
)
+
∑
i
=
0
∞
(
n
−
i
i
)
=
1
+
∑
i
=
1
∞
(
n
−
i
i
−
1
)
+
∑
i
=
1
∞
(
n
−
i
i
)
=
1
+
∑
i
=
1
∞
(
n
+
1
−
i
i
)
=
∑
i
=
0
∞
(
n
+
1
−
i
i
)
=
F
n
+
1
{\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i))+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i))=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1))+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i))=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i))=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i))=F_{n+1))
∑
i
=
m
n
(
i
a
)
=
(
n
+
1
a
+
1
)
−
(
m
a
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a))={\binom {n+1}{a+1))-{\binom {m}{a+1))}
(
m
a
+
1
)
+
(
m
a
)
+
(
m
+
1
a
)
.
.
.
+
(
n
a
)
=
(
n
+
1
a
+
1
)
{\displaystyle {\binom {m}{a+1))+{\binom {m}{a))+{\binom {m+1}{a))...+{\binom {n}{a))={\binom {n+1}{a+1))}
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
2
=
(
2
n
n
)
{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r))^{2}={\binom {2n}{n))}
∑
i
=
0
n
(
r
1
+
n
−
1
−
i
r
1
−
1
)
(
r
2
+
i
−
1
r
2
−
1
)
=
(
r
1
+
r
2
+
n
−
1
r
1
+
r
2
−
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1)){\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1))={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1))}
[ 参 5]
(
1
−
x
)
−
r
1
(
1
−
x
)
−
r
2
=
(
1
−
x
)
−
r
1
−
r
2
{\displaystyle (1-x)^{-r_{1))(1-x)^{-r_{2))=(1-x)^{-r_{1}-r_{2))}
(
1
−
x
)
−
r
1
(
1
−
x
)
−
r
2
=
(
∑
n
=
0
∞
(
r
1
+
n
−
1
r
1
−
1
)
x
n
)
(
∑
n
=
0
∞
(
r
2
+
n
−
1
r
2
−
1
)
x
n
)
=
∑
n
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
(
r
1
+
n
−
1
−
i
r
1
−
1
)
(
r
2
+
i
−
1
r
2
−
1
)
)
x
n
{\displaystyle (1-x)^{-r_{1))(1-x)^{-r_{2))=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1))x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1))x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1)){\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1)))x^{n))
(
1
−
x
)
−
r
1
−
r
2
=
∑
n
=
0
∞
(
r
1
+
r
2
+
n
−
1
r
1
+
r
2
−
1
)
x
n
{\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2))=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1))x^{n))
∑
i
=
0
k
(
n
i
)
(
m
k
−
i
)
=
(
n
+
m
k
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i)){\binom {m}{k-i))={\binom {n+m}{k))}
(
n
+
k
k
)
2
=
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
2
(
n
+
2
k
−
j
2
k
)
{\displaystyle {\binom {n+k}{k))^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j))^{2}{\binom {n+2k-j}{2k))}
^ Higham (1998 )
^ Lilavati 第6節,第4章(見Knuth (1997 ))。
^ Shilov (1977 )
^ 見(Graham,Knuth & Patashnik 1994 ),其中就
k
<
0
{\displaystyle k<0}
定義了
(
n
k
)
=
0
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))=0}
,其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數 時以伽瑪函數 為
k
<
0
{\displaystyle k<0}
時定義
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k))}
,但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效,故未有被廣泛採用。然而,此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors , Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」,但是卻會令帕斯卡法則 在原點失效。
^ 此可視作泰勒定理 的離散形式,亦與牛頓多項式 有關,此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ), Mathematical Association of America.
Bryant, Victor. Aspects of combinatorics . Cambridge University Press. 1993. ISBN 0521419743 .
Flum, Jörg; Grohe, Martin. Parameterized Complexity Theory . Springer. 2006 [2011-07-28 ] . ISBN 978-3-540-29952-3 . (原始内容存档 于2007-11-18).
Fowler, David. The Binomial Coefficient Function . The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). January 1996, 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209 . doi:10.2307/2975209 .
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. ; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics Second. Addison-Wesley. 1994: 153 –256. ISBN 0-201-55802-5 .
Higham, Nicholas J. Handbook of writing for the mathematical sciences . SIAM. 1998: 25 . ISBN 0898714206 .
Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4 .
Singmaster, David. Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. J. London Math. Soc. (2). 1974, 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555 .
Shilov, G. E. Linear algebra . Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187 .