在拓扑学 的相关领域中,积空间 是指一族拓扑空间 的笛卡儿积 與其配备的自然拓扑结构,這個自然拓扑结构被稱為积拓扑 (英語:Product topology )。
直觀動機上,一族拓扑空间 笛卡儿积 ,最「自然」的拓撲,應該是使投影映射都是連續函數的最粗拓撲 ;換句話說,設有集合族
X
{\displaystyle {\mathcal {X))}
,具有指標集
I
{\displaystyle I}
與指標函數
x
{\displaystyle x}
:
I
≅
x
X
{\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong ))\,{\mathcal {X))}
且有相應的一族拓扑
T
{\displaystyle {\mathcal {T))}
與指標函數
τ
{\displaystyle \tau }
:
I
≅
τ
T
{\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong ))\,{\mathcal {T))}
(
∀
i
∈
I
)
[
τ
(
i
)
is topology of
x
(
i
)
]
{\displaystyle (\forall i\in I)[\tau (i){\text{ is topology of ))x(i)]}
若
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
就是无穷乘积
∏
x
X
{\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X))}
上滿足需求的那個拓撲 ,那對於任意指標
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
,以下的第
j
{\displaystyle j}
投影映射:
π
j
:
∏
x
X
→
x
(
j
)
{\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X))\to x(j)}
(
∀
f
∈
∏
x
X
)
[
π
j
(
f
)
=
f
(
j
)
]
{\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X))\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}
必須對所有開集
o
j
∈
τ
(
j
)
{\displaystyle o_{j}\in \tau (j)}
須滿足:
(
π
j
)
−
1
(
o
j
)
∈
τ
π
{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\in \tau _{\pi ))
也就是說,
π
j
{\displaystyle \pi _{j))
必須
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
-
τ
(
j
)
{\displaystyle \tau (j)}
连续 。
首先從
π
j
{\displaystyle \pi _{j))
的定義,對任意
f
{\displaystyle f}
有:
[
f
∈
(
π
j
)
−
1
(
o
j
)
]
⇔
{
(
∀
f
∈
∏
x
X
)
∧
[
f
(
j
)
∈
o
j
]
}
{\displaystyle \left[f\in {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})\right]\Leftrightarrow \left\{\left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X))\right)\wedge {\big [}f(j)\in o_{j}{\big ]}\right\))
那如果取個一對一 函數
o
:
I
→
⋃
T
{\displaystyle o:I\to \bigcup {\mathcal {T))}
滿足:
(
∀
i
∈
I
)
{
(
i
≠
j
)
⇒
[
o
(
i
)
=
x
(
i
)
]
}
{\displaystyle (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\))
o
(
j
)
=
o
j
{\displaystyle o(j)=o_{j))
那以上的要求就可以寫為:
(
π
j
)
−
1
(
o
j
)
=
∏
o
o
(
I
)
∈
τ
π
{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(o_{j})=\prod _{o}o(I)\in \tau _{\pi ))
也就是除了
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
取小開集,其他都選全集的無窮乘積,應該也要是
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
,應該是包含:
{
∏
o
o
(
I
)
|
(
∃
j
∈
I
)
{
(
o
:
I
→
⋃
T
)
∧
(
∀
i
∈
I
)
{
(
i
≠
j
)
⇒
[
o
(
i
)
=
x
(
i
)
]
}
∧
[
o
(
j
)
∈
τ
(
j
)
]
}
}
{\displaystyle \left\{\prod _{o}o(I)\,{\Bigg |}\,(\exists j\in I)\left\{\left(o:I\to \bigcup {\mathcal {T))\right)\wedge (\forall i\in I)\left\{(i\neq j)\Rightarrow {\big [}o(i)=x(i){\big ]}\right\}\wedge {\big [}o(j)\in \tau (j){\big ]}\right\}\right\))
的最粗拓撲 ,總結如下:
如果指标集为有限,则积拓扑有更简单的表述;這是因為可以免除用函数 定義无穷乘积 的迂迴途徑,而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面無窮積空間 一節來炮製更簡明的有限积拓扑 :
設
(
X
1
,
τ
1
)
,
(
X
2
,
τ
2
)
,
…
,
(
X
n
,
τ
n
)
{\displaystyle (X_{1},\,\tau _{1}),\,(X_{2},\,\tau _{2}),\,\dots ,\,(X_{n},\,\tau _{n})}
都是拓扑空间 ,若對任意自然数 指標
j
≤
n
{\displaystyle j\leq n}
來說,以下的投影映射
π
j
{\displaystyle \pi _{j))
:
π
j
:
∏
i
=
1
n
X
i
→
x
(
j
)
{\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to x(j)}
π
j
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
=
a
j
{\displaystyle \pi _{j}(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})=a_{j))
對於
∏
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i))
上的「自然拓扑 」
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
,取任意開集
O
j
∈
τ
j
{\displaystyle O_{j}\in \tau _{j))
應滿足:
(
π
j
)
−
1
(
O
j
)
∈
τ
π
{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\in \tau _{\pi ))
也就是說,
π
j
{\displaystyle \pi _{j))
都應
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
-
τ
j
{\displaystyle \tau _{j))
连续 。那從
π
j
{\displaystyle \pi _{j))
的定義,對任意
p
=
(
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle p=(p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}
有:
[
p
∈
(
π
j
)
−
1
(
O
j
)
]
⇔
(
∀
i
∈
N
)
{
(
p
i
∈
X
i
)
∧
(
p
j
∈
O
j
)
}
{\displaystyle \left[p\in {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})\right]\Leftrightarrow (\forall i\in \mathbb {N} )\left\{(p_{i}\in X_{i})\wedge (p_{j}\in O_{j})\right\))
換句話說,這個「自然拓撲」必須滿足:
(
π
j
)
−
1
(
O
j
)
=
X
1
×
⋯
×
X
j
−
1
×
O
j
×
X
j
+
1
×
⋯
×
X
n
∈
τ
π
{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{j})=X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times O_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi ))
(
1
<
j
≤
n
{\displaystyle 1<j\leq n}
)
(
π
j
)
−
1
(
O
1
)
=
O
1
×
X
2
×
⋯
×
X
n
∈
τ
π
{\displaystyle {(\pi _{j})}^{-1}(O_{1})=O_{1}\times X_{2}\times \dots \times X_{n}\in \tau _{\pi ))
那稍微推廣一下,對任意滿足以下條件的一對一 有限開集序列 :
V
:
N
→
⋃
{
τ
1
,
τ
2
,
…
,
τ
n
}
{\displaystyle V:\mathbb {N} \to \bigcup \{\tau _{1},\,\tau _{2},\,\dots ,\,\tau _{n}\))
V
(
i
)
=
V
i
∈
τ
i
{\displaystyle V(i)=V_{i}\in \tau _{i))
要求:
∏
i
=
1
n
V
i
=
V
1
×
⋯
×
V
n
∈
τ
π
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}\in \tau _{\pi ))
那因為
X
i
∈
τ
i
{\displaystyle X_{i}\in \tau _{i))
(母集合當然是開集合),這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件;反過來,因為:
V
i
=
V
1
×
⋯
×
V
n
=
⋂
j
=
1
n
X
1
×
⋯
×
X
j
−
1
×
V
j
×
X
j
+
1
×
⋯
×
X
n
{\displaystyle V_{i}=V_{1}\times \dots \times V_{n}=\bigcap _{j=1}^{n}X_{1}\times \dots \times X_{j-1}\times V_{j}\times X_{j+1}\times \dots \times X_{n))
所以根據開集的有限交集也是開集的性質,「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述,可以作如下的定義:
定義 — 設
(
X
1
,
τ
1
)
,
(
X
2
,
τ
2
)
,
…
,
(
X
n
,
τ
n
)
{\displaystyle (X_{1},\,\tau _{1}),\,(X_{2},\,\tau _{2}),\,\dots ,\,(X_{n},\,\tau _{n})}
都是拓扑空间 ,取:
C
=
{
∏
i
=
1
n
V
i
|
V
i
∈
τ
i
}
{\displaystyle {\mathcal {C))=\left\{\prod _{i=1}^{n}V_{i}\,{\Bigg |}\,V_{i}\in \tau _{i}\right\))
那在
∏
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i))
上包含
C
{\displaystyle {\mathcal {C))}
的最粗拓撲
τ
π
{\displaystyle \tau _{\pi ))
被稱為
∏
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i))
的有限積拓撲 ,而
(
∏
i
=
1
n
X
i
,
τ
π
)
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\,\tau _{\pi }\right)}
被稱為相應的有限積空間 。
从实直线 R 上的标准拓扑开始,定义n 份R 的乘积,就得到普通的R n 上的欧几里得拓扑 。
康托尔集 同胚 于可数 个离散空间 {0,1}的乘积而无理数 的空间同胚于可数个自然数 集的乘积,每个集合也是采用离散拓扑。
如果 B 1 ,B 2 ,...,Bn 是拓撲 T 1 ,T 2 ,...,Tn 的基,則集合積 B 1 × B 2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T 1 × T 2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用,除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
乘积空间X 加上标准投影,可以用如下的泛性质 来刻划:若Y 是拓扑空间,并且对于每个I 中的i ,fi : Y → Xi 是一个连续映射,则存在恰好一个 连续映射f : Y → X 满足对于每个I 中的i 如下交换图 成立:
乘积空间的特性 这表明乘积空间是拓扑空间范畴 中的积 。从上述泛性质可以得出映射f : Y → X 连续当且仅当 fi = pi o f 对于所有I 中的i 连续。在很多情况下,检查分量函数fi 的连续性更为方便。检验映射f : Y → X 是否连续通常更难;可以试着用某种方式利用pi 连续这一点。
除了连续,标准投影pi : X → Xi 也是开映射 。这表示每个积空间的开子集投影到Xi 上还是开集。反过来不真:若W 是到所有Xi 的投影都是开集的积空间的子空间 ,则W 不一定是X 中的开集。(例如,W = R 2 \ (0,1)2 .)标准投影通常不是闭映射 。
积拓扑有时称为点式收敛拓扑 ,因为:X 上的一个序列 (或者网 )收敛当且仅当它所有到X i 的投影收敛。特别是,如果考虑所有在空间X = R I 对于所有I 上的实 值函数 ,在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。
积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理 :任何紧致空间 的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明,而其一般情况等价于选择公理 。
可分离性
紧致性
连通性
每个连通 (路径-连通)空间是连通的(路径-连通的)。
每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。 每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U 的空间称为纤维丛 。