絕對值（absolute value）係數學上面常用嘅概念。佢意指將所有嘅負數變成正數，正數都仲係正數。同時，佢可以代表兩個數字之間嘅距離。拓展落去，佢可以代表兩樣嘢之間嘅距離。

絕對值同時都係一個基本函數之一。有咗絕對值，可以推斷到好多有用嘅公式，其中一條就係三角形不等式。

假設有一個實數${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$。佢嘅絕對值${\displaystyle |a|}$就係$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a&{\text{if ))a>0,\\0&{\text{if ))a=0,\\-a&{\text{if ))a<0.\end{cases))}$$如果將呢個定義用函數圖形嚟表示，${\displaystyle |a|}$會好似一個「V」字嘅樣。

例子

• ${\displaystyle |5|=5}$
• ${\displaystyle |{-12}|=12}$
• ${\displaystyle |0|=0}$

如果${\displaystyle |a|=0}$，咁一定係${\displaystyle a=0}$。(${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$)

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$，${\displaystyle a<0}$或者${\displaystyle a=0}$。根據定義，只有${\displaystyle a=0}$，先至會有${\displaystyle |a|=0}$。

${\displaystyle |{-a}|=|a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$，${\displaystyle a<0}$或者${\displaystyle a=0}$。

如果${\displaystyle a>0}$，咁${\displaystyle -a<0}$。得出${\displaystyle |{-a}|=-(-a)=a=|a|}$。

如果${\displaystyle a<0}$，咁${\displaystyle -a>0}$。得出${\displaystyle |a|=-a=|{-a}|}$。

如果${\displaystyle a=0}$，咁${\displaystyle |a|=|0|=0=-0=|{-a}|}$。

${\displaystyle |ab|=|a||b|,\,\forall a,b\in \mathbb {R} }$

證明：

如果${\displaystyle a=0}$或者${\displaystyle b=0}$，咁${\displaystyle |ab|=|a||b|}$。

因為性質二得知，無論${\displaystyle a}$同${\displaystyle b}$係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。

${\displaystyle |ab|=ab=|a||b|}$。

${\displaystyle |a^{2}|=a^{2},\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

利用性質三得出，${\displaystyle |a^{2}|=|aa|=|a||a|=aa=a^{2))$。

如果${\displaystyle c\geq 0}$，咁只有因為${\displaystyle -c\leq a\leq c}$，先會得出${\displaystyle |a|\leq c}$。換句話講，${\displaystyle |a|\leq c}$同${\displaystyle -c\leq a\leq c}$係同一個意思。

${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

• 三角形不等式
• 開方根
• 複數
• 向量

睇 傾 改 現代數學同數學各領域
純粹同應用數學 · 數學史 · 數學之美
數學證明	直接證明 數學歸納法 否定證明 反證法 構造法 分類證明
數學基礎	數學哲學 數學邏輯 範疇論 集合論 類型論 資訊理論 數學符號 數學物體
數論	數（質數） 算術 代數數論 解析數論
代數學	基本代數 線性代數（多重） 抽象代數（交換代數 · 羣論 · 伽華理論） 場論 泛代數 同調代數
幾何學	歐幾里得幾何 代數幾何 解析幾何 微分幾何 離散幾何 拓撲學（代數拓撲）
數學分析	微積分 微分方程 實分析同複分析 測度 諧波分析 泛函分析
離散數學	組合數學 圖論 序理論 博弈論
應用數學	數理物理學 數理化學 數理生物學 數理心理學 數理社會學 控制理論 　決策論 概率論同統計學 數理經濟學 運籌學 數理金融學
運算數學	電腦科學 運算理論 數值分析 最佳化 電腦代數
拉雜相關	邏輯 理論電腦科學 哲學（古希臘哲學 · 理性主義） 科學（形式 · 系統） 科技 藝術 樂理
數學主題 · 數學類