证明[编辑]

内角平分线长[编辑]

作 ${\displaystyle \angle A}$ 的内角平分线交对边 ${\displaystyle BC}$ 于点 ${\displaystyle D}$ 。延长 ${\displaystyle {\overline {AD))}$ 至点 ${\displaystyle E}$ ，使 ${\displaystyle \angle AEB=\angle ACD}$ 。

${\displaystyle \triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC}$

${\displaystyle \triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC}$

${\displaystyle AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC}$

得内角平分线长公式（i）：^[1][2][3]

${\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC))}$

外角平分线长[编辑]

作 ${\displaystyle \angle A}$ 的外角平分线交直线 ${\displaystyle BC}$ 于点 ${\displaystyle D'}$ 。延长 ${\displaystyle {\overline {D'A))}$ 至点 ${\displaystyle E'}$ ，使 ${\displaystyle \angle AE'B=\angle ACD'}$ 。

${\displaystyle \triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC}$

${\displaystyle \triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C}$

${\displaystyle AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}$

得外角平分线长公式（i）：^[2]

${\displaystyle AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC))}$

推导[编辑]

根据角平分线定理，有：^[4]