中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形两边和中线长度关系。它等价于平行四边形恒等式。

中线定理

对任意三角形${\displaystyle \triangle ABC}$，设${\displaystyle I}$是线段${\displaystyle {\overline {BC))}$的中点，${\displaystyle {\overline {AI))}$为中线，则有如下关系：

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}=2{\overline {BI))^{2}+2{\overline {AI))^{2}\,}$

证明

用莱布尼茨标量函数约简，可以容易导出这性质：只需要在两个平方中引入${\displaystyle I}$：

${\displaystyle |{\vec {AB))|^{2}+|{\vec {AC))|^{2}=\left|{\vec {AI))+{\vec {IB))\right|^{2}+\left|{\vec {AI))+{\vec {IC))\right|^{2))$

得出

${\displaystyle |{\vec {AB))|^{2}+|{\vec {AC))|^{2}=|{\vec {AI))|^{2}+|{\vec {IB))|^{2}+2{\vec {AI))\cdot {\vec {IB))+|{\vec {AI))|^{2}+|{\vec {IC))|^{2}+2{\overrightarrow {AI))\cdot {\overrightarrow {IC))}$

${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中点，因此${\displaystyle {\overrightarrow {IB))}$和${\displaystyle {\overrightarrow {IC))}$相反，可知式中两个标积抵消。又因${\displaystyle {\overline {IC))={\overline {IB))}$，得出

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}=2{\overline {AI))^{2}+2{\overline {IB))^{2}\,}$

另一个证法

这可能是阿波罗尼奥斯的证明方法，因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下： 设${\displaystyle H}$是从${\displaystyle A}$到${\displaystyle BC}$的垂足，则${\displaystyle \triangle BHA}$和${\displaystyle \triangle AHC}$是直角三角形。用勾股定理可得

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}={\overline {BH))^{2}+{\overline {AH))^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AC))^{2}={\overline {AH))^{2}+{\overline {HC))^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AI))^{2}={\overline {IH))^{2}+{\overline {AH))^{2}\,}$

所以

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}={\overline {BH))^{2}+2{\overline {AH))^{2}+{\overline {HC))^{2}\,}$

把${\displaystyle BH}$和${\displaystyle HC}$用${\displaystyle BI}$和${\displaystyle IH}$表达出来（记得${\displaystyle I}$是${\displaystyle BC}$的中点，因此${\displaystyle BI=IC}$）。注意到虽然现在的情形假设${\displaystyle H}$在线段${\displaystyle BI}$上，但其 他情形也可以用这个方法。

${\displaystyle {\overline {BH))={\overline {BI))-{\overline {IH))\,}$

${\displaystyle {\overline {HC))={\overline {IC))+{\overline {IH))={\overline {BI))+{\overline {IH))\,}$

代入前式：

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}=({\overline {BI))-{\overline {IH)))^{2}+2{\overline {AH))^{2}+({\overline {BI))+{\overline {IH)))^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}={\overline {BI))^{2}-2{\overline {BI))\cdot {\overline {IH))+{\overline {IH))^{2}+2{\overline {AH))^{2}+{\overline {BI))^{2}+2{\overline {BI))\cdot {\overline {IH))+{\overline {IH))^{2}\,}$

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}=2{\overline {BI))^{2}+2{\overline {IH))^{2}+2{\overline {AH))^{2}=2{\overline {BI))^{2}+2({\overline {IH))^{2}+{\overline {AH))^{2})\,}$

${\displaystyle \triangle IHA}$是直角三角形(H为${\displaystyle \triangle ABC}$于${\displaystyle {\overline {BC))}$之垂足) ，因此

${\displaystyle {\overline {IH))^{2}+{\overline {AH))^{2}={\overline {AI))^{2}\,}$

代入前式得出

${\displaystyle {\overline {AB))^{2}+{\overline {AC))^{2}=2{\overline {BI))^{2}+2{\overline {AI))^{2}\,}$

中线的向量表达式

设${\displaystyle I}$是线段${\displaystyle BC}$的中点，则有${\displaystyle {\vec {AB))+{\vec {AC))=2{\vec {AI))}$

中线的另一条定理

用标积表示${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC))\cdot {\overrightarrow {IH))}$，其中${\displaystyle H}$是${\displaystyle A}$到线${\displaystyle BC}$的垂足。

从上得到中线的另一条定理${\displaystyle \left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH}$。

实际上

${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB))+{\overrightarrow {AC)))\cdot ({\overrightarrow {AB))-{\overrightarrow {AC)))=2{\overrightarrow {AI))\cdot ({\overrightarrow {AB))+{\overrightarrow {CA)))=2{\overrightarrow {AI))\cdot {\overrightarrow {CB))}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AI))}$投影在${\displaystyle {\overrightarrow {BC))}$ 上是${\displaystyle {\overrightarrow {HI))}$，因而有${\displaystyle {\overrightarrow {AI))\cdot {\overrightarrow {CB))={\overrightarrow {HI))\cdot {\overrightarrow {CB))={\overrightarrow {BC))\cdot {\overrightarrow {IH))}$.

这两个共线向量的标积可等于${\displaystyle BC\times IH\,}$或其负数，因此取绝对值。

参见

• 闭凸集投影定理，中线定理是这定理的证明关键。
• 平行四边形恒等式