符号约定
在学术界内,关于球座标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织 建立的约定(ISO 31-11),球坐标标记为
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )}
,其中
r
{\displaystyle r}
代表径向距离,
θ
{\displaystyle \theta }
代表极角,
φ
{\displaystyle \varphi }
代表方位角 ,极角也称为倾斜(inclination)角、法线 角或天顶 (zenith)角。这种标记通常为物理界的学者所采用,在世界各地有许多使用者,本条目采用的是物理学界标记约定。方位角 (azimuth)、高度(altitude 或elevation )角和天顶 的概念出自关于天球 的地平坐标系 。在极坐标系 中,角度坐标
θ
{\displaystyle \theta }
常被称为极角[1] 。
在数学界,球座标标记也是
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )}
,但倾斜角与方位角的标记正好相反:
θ
{\displaystyle \theta }
代表方位角,
φ
{\displaystyle \varphi }
代表倾斜角。数学界的标记被认为“提供了对常用的极坐标系 记号的逻辑扩展,
θ
{\displaystyle \theta }
仍是在xy-平面上的角度而
φ
{\displaystyle \varphi }
是在这个平面之外的角度”[2] ;一些作者将倾斜角列在方位角之前而写为
(
r
,
φ
,
θ
)
{\displaystyle (r,\ \varphi ,\ \theta )}
,还有作者对径向距离使用
ρ
{\displaystyle \rho }
而写为
(
ρ
,
φ
,
θ
)
{\displaystyle (\rho ,\ \varphi ,\ \theta )}
或
(
ρ
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (\rho ,\ \theta ,\ \varphi )}
[2] 。
球坐标系下的微积分公式
假定
θ
{\displaystyle \theta }
是从原点到P点的连线与正z-轴的夹角,球座标系的标度因子分别为:
h
r
=
1
{\displaystyle h_{r}=1}
、
h
θ
=
r
{\displaystyle h_{\theta }=r}
、
h
φ
=
r
sin
θ
{\displaystyle h_{\varphi }=r\sin \theta }
。微分公式:
线元素是一个从
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
到
(
r
+
d
r
,
θ
+
d
θ
,
φ
+
d
φ
)
{\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}
的无穷小位移,表示为公式:
d
r
=
d
r
r
^
+
r
d
θ
θ
^
+
r
sin
θ
d
φ
φ
^
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r))}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta ))}+r\sin {\theta }\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi ))} }
;
其中的
r
^
,
θ
^
,
φ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r))},{\boldsymbol {\hat {\theta ))},{\boldsymbol {\hat {\varphi ))))
是在
r
,
θ
,
φ
{\displaystyle r,\theta ,\varphi }
的各自的增加的方向上的单位矢量 。 面积元素1:在球面上,固定半径,天顶角从
θ
{\displaystyle \theta }
到
θ
+
d
θ
{\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }
,方位角从
φ
{\displaystyle \varphi }
到
φ
+
d
φ
{\displaystyle \varphi +\mathrm {d} \varphi }
变化,公式为:
d
S
r
=
r
2
sin
θ
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
。面积元素2:固定天顶角
θ
{\displaystyle \theta }
,其他两个变量变化,则公式为:
d
S
θ
=
r
sin
θ
d
r
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\,\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }
。面积元素3:固定方位角
φ
{\displaystyle \varphi }
,其他两个变量变化,则公式为:
d
S
φ
=
r
d
r
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }
。体积元素,径向座标从
r
{\displaystyle r}
到
r
+
d
r
{\displaystyle r+\mathrm {d} r}
,天顶角从
θ
{\displaystyle \theta }
到
θ
+
d
θ
{\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }
,并且方位角从
φ
{\displaystyle \varphi }
到
φ
+
d
φ
{\displaystyle \varphi +\mathrm {d} \varphi }
的公式为:
d
V
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
。微分算子,如
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
、
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
、
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
、
∇
2
f
{\displaystyle \nabla ^{2}f}
,都可以用
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )}
座标表示,只要将标度因子代入在正交座标系 条目内对应的一般公式,即可得到如下公式:
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
θ
θ
^
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
φ
φ
^
{\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r))}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta ))}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi ))))
。
∇
⋅
A
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
A
r
)
+
1
r
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
A
θ
)
+
1
r
sin
θ
∂
A
φ
∂
φ
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2))}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta )){\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta )){\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi ))
。
∇
×
A
=
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
A
φ
sin
θ
)
−
∂
A
θ
∂
φ
)
r
^
+
1
r
(
1
sin
θ
∂
A
r
∂
φ
−
∂
∂
r
(
r
A
φ
)
)
θ
^
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
A
θ
)
−
∂
A
r
∂
θ
)
φ
^
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\displaystyle {1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {\hat {r))}+\displaystyle {1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta ))}+\displaystyle {1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\varphi ))))
。
∇
2
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2)){\partial \over \partial r}\!\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2))}
。
应用
正如二维直角座标系专精在平面上,二维球座标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里,我们认定这圆球是个单位圆球;其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵 问题上,这方法是非常有用的。
球座标系适用于分析一个对称于点的系统。举例而言,一个圆球,其直角座标方程式为
x
2
+
y
2
+
z
2
=
c
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2))
,可以简易的用球座标系
ρ
=
c
{\displaystyle \rho =c}
来表示。
用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题,最自然的座标系,莫非是球座标系。例如,一个具有质量或电荷的圆球形位势 场。两种重要的偏微分方程式 ,拉普拉斯方程 与亥姆霍兹方程 ,在球座标里,都可以成功的使用分离变数法 求得解答。这种方程式在角部分的解答,皆呈球谐函数 的形式。