爱因斯坦-嘉当理论（英语：Einstein-Cartan theory）是理论物理学中将广义相对论延伸以正确处理自旋角动量。此理论以物理学家阿尔伯特·爱因斯坦以及埃利·嘉当（Élie Cartan)为名。

作为经典物理中的主要理论，广义相对论却有一个缺点：其无法描述“自旋轨道耦合”（spin-orbit coupling），亦即内禀角动量（intrinsic angular momentum）（自旋）与轨道角动量（orbital angular momentum）间的交换。存在有定量的理论证明，其显示：当物体具有自旋性质时，广义相对论必须要扩充成爱因斯坦-嘉当理论。

实验上的效应由于太小，目前尚无法观测得到。

历史

该理论最早由埃利·嘉当(Élie Cartan)于 1922 年提出，并在随后的几年中得到了阐述。阿尔伯特爱因斯坦于 1928 年开始加入该理论，当时他试图将挠率与电磁场张量匹配作为统一场论的一部分，但没有成功。这一思路引导他得出了相关但不同的远程并行理论。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世纪60年代独立地重新审视了该理论，并于1976年发表了一篇重要评论。

爱因斯坦-嘉当理论在历史上一直被无扭转理论和布兰斯-迪克理论等其他替代理论所掩盖，因为扭转似乎以牺牲方程的易处理性为代价，几乎没有增加预测的好处。由于爱因斯坦-嘉当理论是纯粹经典的，它也没有完全解决量子引力问题。在爱因斯坦-嘉当理论中，狄拉克方程变得非线性。最近，人们对爱因斯坦-嘉当理论的兴趣已经转向宇宙学意义，最重要的是，避免了宇宙开始时的引力奇点。该理论被认为是可行的，并且仍然是物理学界的活跃话题。

该理论间接影响了圈量子引力（并且似乎也影响了扭量理论）。

动机

广义相对论无法描述自旋轨道耦合的理由根源于黎曼几何，而广义相对论是建构于其上。在黎曼几何中，里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）${\displaystyle R_{ab))$必须是a与b对称的（亦即，${\displaystyle R_{ab}=R_{ba))$）。因此爱因斯坦曲率张量(Einstein curvature tensor)${\displaystyle G_{ab))$定义为

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2))Rg_{ab))$

也必须是对称的。在广义相对论中，爱因斯坦曲率张量为局域重力建构了模型，且其（透过重力常数的联系）等同于应力-能量张量或能量-动量张量${\displaystyle P_{ab))$（此处我们将能量-动量张量表示为P，是因为广义相对论中常用来表示能量-动量张量的T在爱因斯坦-嘉当理论留给仿射扭率(affine torsion)。）爱因斯坦曲率张量的对称性强迫动量张量必须是对称的。然而，当自旋与轨道角动量进行交换时，根据角动量守恒的广义式，则知动量张量为不对称的。

自旋流（英语：spin current）(spin current)之散度——${\displaystyle {\frac {1}{2))\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0}$

细节请参考自旋张量（英语：spin tensor）(spin tensor)条目。

因此广义相对论无法适当地为自旋轨道耦合建构模型。

于1922年，埃利·嘉当提出猜想认为广义相对论应该被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允许里奇张量可以是不对称的。虽然自旋-轨道耦合是重力物理学中相对次要的现象，爱因斯坦–嘉当理论则相当重要，因为

(1) 其显示出仿射理论，而非度规理论，对于重力能提供更好的描述；

(2) 其解释仿射扭率的意义，在一些量子引力理论中自然出现；

(3) 其将自旋诠释为仿射扭率，在几何意义上是时空介质(spacetime medium)之位错场(field of dislocations)的一项连续近似。

将黎曼几何扩充以包含了仿射扭率则称为黎曼-嘉当几何(Riemann–Cartan geometry)。

几何与表示式

时空物理学的数学基础是仿射微分几何(affine differential geometry)，其中我们赋予n维微分流形M 一项沿着M上路径对向量作平行移动的定律。（一微分流形的每个点，我们都有切向量所组成的一个线性空间，不过我们无法将向量移动到其他点，或是去比较M上位于不同两点上的向量。）平行移动保存了向量间的线性关系；也就是说，若两向量 ${\displaystyle {\vec {u))}$ 与 ${\displaystyle {\vec {v))}$ 在M上同一点，沿着一曲线被平行移动成为向量 ${\displaystyle {\vec {u))^{\prime ))$ 与 ${\displaystyle {\vec {v))^{\prime ))$，则两者的线性组合

${\displaystyle a{\vec {u))}$ + ${\displaystyle b{\vec {v))}$

也平行移动为

${\displaystyle a{\vec {u))^{\prime ))$ + ${\displaystyle b{\vec {v))^{\prime ))$。

仿射微分几何中的平行性(Parallelism)是路径相依(path-dependent)的；也就是说，如果沿着同起点与同终点之两相异路径平行移动一向量，在终点所得的结果向量一般来说是相异的。这样的差异本质上即为曲率的影响，而曲率在微分几何中是个中心概念。

爱因斯坦-嘉当引力理论简介

用标架场重写爱因斯坦引力理论

用标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )))$ 代替度规场${\displaystyle ((g}_{\mu \nu ))}$ ，我们可以得到用标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )))$ （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：

• （1）引力场运动方程第一形式：${\displaystyle {\frac {D((Q}^{(\alpha )\mu \nu ))}{D((x}^{\nu ))))={\frac {16\pi G}((c}^{4))}((P}^{(\alpha )\mu ))}$
• （2）引力场运动方程第二形式：${\displaystyle ((R}^{\mu \nu ))-{\frac {1}{2))((g}^{\mu \nu ))R+{\frac {1}{2))\lambda _{(\alpha )}^{\nu }{\frac {DK_{}^{(\alpha )\mu \rho )){D((x}^{\rho ))))={\frac {8\pi G}((c}^{4))}\left(P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu }\right)}$

其中：

${\displaystyle ((P}^{(\alpha )\mu ))=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu ))$

${\displaystyle {\begin{aligned}&((Q}^{(\alpha )\mu \nu ))=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{}^{(\alpha )\mu \nu }\\&Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }=((F}^{(\alpha )\mu \nu ))+\left(((F}^{\mu (\alpha )\nu ))-((F}^{\nu (\alpha )\mu ))\right)-2\left(((\lambda }^{(\alpha )\mu ))((F}^{\nu ))-((\lambda }^{(\alpha )\nu ))((F}^{\mu ))\right)\\&K_{}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{}((F}^{(\alpha )\mu \nu ))+\beta _{2}^{}\left(((F}^{\mu (\alpha )\nu ))-((F}^{\nu (\alpha )\mu ))\right)-2\beta _{3}^{}\left(((\lambda }^{(\alpha )\mu ))((F}^{\nu ))-((\lambda }^{(\alpha )\nu ))((F}^{\mu ))\right)\\\end{aligned))}$

${\displaystyle P_{g}^{(\alpha )\mu }={\frac ((c}^{4)){16\pi G))\left(-((F}_{\lambda \rho \sigma ))((Q}^{\lambda \mu \sigma ))+{\frac {1}{4))((F}_{\lambda m\sigma ))((Q}^{\lambda m\sigma ))\delta _{\rho }^{\mu }\right)((\lambda }^{(\alpha )\rho ))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{m}^{(\alpha )\mu }=-{\frac {1}{\sqrt {-g))}{\frac {\delta \left(((L}_{m)){\sqrt {-g))\right)}{\delta ((\lambda }_{(\alpha )\mu ))))=-{\frac {\delta ((L}_{m))}{\delta ((\lambda }_{(\alpha )\mu ))))-((L}_{m))((\lambda }^{(\alpha )\mu ))\\&\\\end{aligned))}$

${\displaystyle P_{gk}^{(\alpha )\mu }={\frac ((c}^{4)){16\pi G))\left(-((F}_{\lambda \rho \sigma ))((K}^{\lambda \mu \sigma ))+{\frac {1}{4))((F}_{\lambda m\sigma ))((K}^{\lambda m\sigma ))\delta _{\rho }^{\mu }\right)((\lambda }^{(\alpha )\rho ))}$

当 ${\displaystyle ((\beta }_{1)),((\beta }_{2)),((\beta }_{3))<<1}$时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程： ${\displaystyle ((R}^{\mu \nu ))-{\frac {1}{2))((g}^{\mu \nu ))R={\frac {8\pi G}((c}^{4))}P_{m}^{\nu \mu ))$

爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾

考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma ))_{(\beta )\mu }^{(\alpha )))$ 。在黎曼时空中，存在关系式：${\displaystyle ((D}_{\nu ))\lambda _{\mu }^{(\alpha )}=((\partial }_{\nu ))\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma ))_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0}$ ，标架场与标架仿射联络不独立。 因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：

(1)电子场运动方程：

${\displaystyle \left\((\begin{aligned}&i\hbar ((\gamma }^{\mu ))((D}_{\mu ))\psi -mc\psi =0\\&i\hbar ((D}_{\mu )){\bar {\psi ))((\gamma }^{\mu ))+mc{\bar {\psi ))=0\\\end{aligned))\right.}$

(2)电磁场运动方程：

${\displaystyle ((D}_{\nu ))((F}^{\mu \nu ))=-4\pi j_{e}^{\mu ))$

(3)引力场运动方程：

${\displaystyle ((R}^{\mu \nu ))-{\frac {1}{2))((g}^{\mu \nu ))R={\frac {8\pi G}((c}^{4))}\left(P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-{\frac {1}{2))D_{\sigma }^{}((s}_{e))^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu }\right)}$

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

${\displaystyle ((D}_{\nu ))P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho ))^{\mu }j_{e}^{\rho }+{\frac {1}{2))((R}_{(\alpha \beta )\nu ))^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu ))$

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

${\displaystyle ((D}_{\nu ))P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho ))^{\mu }j_{e}^{\rho }-{\frac {1}{4))((R}_{(\alpha \beta )\nu ))^{\mu }((s}_{e))^{(\alpha \beta )\nu ))$

上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

有挠时空引力理论（爱因斯坦-嘉当理论）

在有挠时空中，标架场 ${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )))$与标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma ))_{(\beta )\mu }^{(\alpha )))$ 是独立的，标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )))$ 描述时空的弯曲，标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma ))_{(\beta )\mu }^{(\alpha )))$ 描述时空的扭曲，并且有：

${\displaystyle ((D}_{\nu ))\lambda _{\mu }^{(\alpha )}=((\partial }_{\nu ))\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma ))_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\neq 0}$

有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：

${\displaystyle \left\((\begin{aligned}&{\frac {1}{2))\left(i\hbar ((\gamma }^{\mu ))D_{\mu }^{}\psi +i\hbar D_{\mu }^{}(((\gamma }^{\mu ))\psi )\right)-mc\psi =0\\&{\frac {1}{2))\left(i\hbar D_{\mu }^{}{\bar {\psi ))((\gamma }^{\mu ))+i\hbar D_{\mu }^{}({\bar {\psi ))((\gamma }^{\mu )))\right)+mc{\bar {\psi ))=0\\\end{aligned))\right.}$

(2)电磁场运动方程：

${\displaystyle D_{\nu }^{}((F}^{\mu \nu ))=-4\pi j_{e}^{\mu ))$

(3)自旋场运动方程：

${\displaystyle D_{\nu }^{}((R}^{(\alpha \beta )\mu \nu ))={\frac {8\pi \kappa }((c}^{4))}\left(s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu }\right)}$

(4)引力场运动方程：

a. 第一形式：

${\displaystyle D_{\nu }^{}((Q}^{(\alpha )\mu \nu ))={\frac {16\pi G}((c}^{4))}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-{\frac ((c}^{4)){16\pi G)){\bar {\beta ))\left(2((\hat {R))^{\mu (\alpha )))-{\hat {R))((\lambda }^{(\alpha )\mu ))\right)\right)}$

b. 第二形式：

${\displaystyle {\bar {\beta ))\left(R_{\nu }^{\mu }-{\frac {1}{2))\delta _{\nu }^{\mu }R\right)\lambda _{}^{(\alpha )\nu }+{\frac {1}{2))\beta D_{\nu }^{}((\bar {K))^{(\alpha )\mu \nu ))={\frac {8\pi G}((c}^{4))}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu }\right)}$

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

应用

• 解释宇宙加速膨胀
• 解释先锋异常
• 解释星系转动曲线
• 预言带电物体周围的引力异常
• 预言日月食的引力异常

参见

• ECT理论-牛顿引力理论

参考文献