系列条目
量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))|\psi (t)\rangle ={\hat {H))|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
入门 术语（英语：Glossary of elementary quantum mechanics） 历史
背景 经典力学 旧量子论 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
基本原理 互补 退相干 纠缠 能级 测量 非局域性（英语：Quantum nonlocality） 量子数 量子态 态叠加原理 对称性（英语：Symmetry in quantum mechanics） 量子隧穿效应 不确定性 波函数 波函数坍缩
实验 贝尔定理的实验验证 戴维森-革末实验 双缝实验 伊利泽-威德曼炸弹测试问题 弗兰克-赫兹实验 Leggett-Garg不平等现象（英语：Leggett–Garg inequality） 马赫-曾德尔干涉仪 波普尔实验 量子擦除实验 延迟选择 薛定谔猫 施特恩-格拉赫实验 惠勒延迟选择实验
表述 概览 海森堡绘景 相互作用绘景 矩阵力学 相空间表述 薛定谔绘景 路径积分表述
方程 狄拉克方程 克莱因-戈尔登方程 泡利方程 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义（英语：Quantum Bayesianism） 一致性历史 哥本哈根诠释 德布罗意-玻姆理论 系综诠释 隐变量理论 局部隐变量（英语：Local hidden-variable theory） 多世界诠释 客观坍缩理论 量子逻辑（英语：Quantum logic） 关系性量子力学 交易诠释
高阶 相对论量子力学（英语：Relativistic quantum mechanics） 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌（英语：Quantum chaos） 密度矩阵 散射理论（英语：Scattering theory） 量子统计力学 量子机器学习
科学家 阿哈罗诺夫 贝尔 贝特 布莱克特 布洛赫 玻姆 玻尔 玻恩 玻色 德布罗意 康普顿 狄拉克 戴维孙 德拜 埃伦费斯特 爱因斯坦 艾弗雷特三世 福克 费米 费曼 格劳伯 古茨威勒 海森堡 希尔伯特 约尔旦 克喇末 泡利 兰姆 朗道 劳厄 莫塞莱 密立根 昂内斯 普朗克 拉比 拉曼 里德伯 薛定谔 米歇尔·西蒙斯（英语：Michelle Simmons） 索末菲 冯·诺伊曼 外尔 维恩 维格纳 塞曼 蔡林格
查 论 编

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。^[1]:316ff

从数学表述，态叠加原理是薛定谔方程的解所具有的性质。由于薛定谔方程是个线性方程，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的概率之后，所有乘积的总和。

更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量${\displaystyle A}$，而可观察量${\displaystyle A}$的本征态${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$分别拥有本征值${\displaystyle a_{1))$、${\displaystyle a_{2))$，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }$也可以是这量子系统的量子态；其中，${\displaystyle c_{1))$、${\displaystyle c_{2))$分别为叠加态处于本征态${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$的概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量${\displaystyle A}$，则测量获得数值是${\displaystyle a_{1))$或${\displaystyle a_{2))$的概率分别为${\displaystyle |c_{1}|^{2))$、${\displaystyle |c_{2}|^{2))$，期望值为${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2))$。

举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例，在量子运算里，量子比特是的两个基底态${\displaystyle |0\rangle }$与${\displaystyle |1\rangle }$的线性叠加。这两个基底态${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$的本征值分别为${\displaystyle 0}$、${\displaystyle 1}$。

理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 ${\displaystyle |f_{1}\rangle }$或${\displaystyle |f_{2}\rangle }$ ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合${\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle }$，也满足同样的薛定谔方程；其中，${\displaystyle c_{1))$、${\displaystyle c_{2))$是复值系数，为了归一化${\displaystyle |f\rangle }$，必须让${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$。

假设${\displaystyle \theta }$为实数，则虽然${\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$与${\displaystyle |f_{2}\rangle }$标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$、${\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$分别标记两种不同的量子态。但是，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$和${\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )}$都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。^[1]:317

电子自旋范例

设想自旋为${\displaystyle 1/2}$的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态${\displaystyle |\uparrow \rangle }$与下旋态${\displaystyle |\downarrow \rangle }$，它们的量子叠加可以用来表示量子比特：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{\uparrow ))$、${\displaystyle c_{\downarrow ))$分别是复值系数，为了归一化${\displaystyle |\psi \rangle }$，必须让${\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

这是最一般的量子态。系数${\displaystyle c_{\uparrow ))$、${\displaystyle c_{\downarrow ))$分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率：

${\displaystyle p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2))$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2))$。

总概率应该等于1： ${\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

${\displaystyle |\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle }$。

电子处于上旋态或下旋态的概率分别为

${\displaystyle p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5))\;\right|^{2}={\frac {9}{25))}$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5))\;\right|^{2}={\frac {16}{25))}$。

再次注意到总概率应该等于1：

${\displaystyle p={\frac {9}{25))+{\frac {16}{25))=1}$。

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为^[1]:331-336

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\Psi (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是粒子的波函数，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))$；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$是波矢，${\displaystyle \omega }$是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2)){2m))=\hbar \omega }$。

由于粒子存在的概率等于1，波函数${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2))}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} }$；

其中，积分区域${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbf {k} }$-空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k}$；

其中，振幅${\displaystyle A(k)}$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}$；

其中，${\displaystyle \Psi (x,0)}$是在时间${\displaystyle t=0}$的波函数。

所以，知道在时间${\displaystyle t=0}$的波函数${\displaystyle \Psi (x,0)}$，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数${\displaystyle \Psi (x,t)}$。

参见

• 叠加原理
• 波函数
• Delta 位势阱
• Delta 位势垒

参考文献