居里定律 是指在顺磁性 材料中,材料的磁化强度 大致与施加的磁场 强度成正比。然而,若加热材料,则比值减小。对于固定场强的磁场,磁化率大致与温度 成反比。
M
=
C
⋅
B
T
,
{\displaystyle \mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T)),}
其中
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
是磁化强度
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是磁感应强度
T
{\displaystyle T}
是温度,以开尔文 为单位
C
{\displaystyle C}
是材料的居里常数 居里定律是在实验中由皮埃尔·居里 得到的,它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导,则能得到在低温和强磁场条件下,磁化强度趋于饱和的结果,而非由定律预言的持续增加。
顺磁体的磁化强度 是温度的反比函数. 顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩
μ
→
{\displaystyle {\vec {\mu ))}
。磁场中磁矩 的能量 由下式给出:
E
=
−
μ
⋅
B
.
{\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} .}
为简化计算,我们将顺磁体内的粒子看作是双态粒子:其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此,磁矩的可能值只能是
μ
{\displaystyle \mu }
或者
−
μ
{\displaystyle -\mu }
。如果是这样,那么这样的粒子只有两种可能的能量
E
0
=
−
μ
B
{\displaystyle E_{0}=-\mu B}
以及
E
1
=
μ
B
.
{\displaystyle E_{1}=\mu B.}
顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说,就是磁化强度
μ
{\displaystyle \mu }
的期望值 :
⟨
μ
⟩
=
μ
P
(
μ
)
+
(
−
μ
)
P
(
−
μ
)
=
1
Z
(
μ
e
μ
B
β
−
μ
e
−
μ
B
β
)
=
2
μ
Z
sinh
(
μ
B
β
)
,
{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}
其中,每一种情况的概率 由其玻尔兹曼因子 给出,配分函数
Z
{\displaystyle Z}
为概率提供必要的归一化 (即所有这些概率的总和 是归一的)。
一个粒子的配分函数是
Z
=
∑
n
=
0
,
1
e
−
E
n
β
=
e
μ
B
β
+
e
−
μ
B
β
=
2
cosh
(
μ
B
β
)
.
{\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).}
因此,在双态粒子简单的情形中,我们有
⟨
μ
⟩
=
μ
tanh
(
μ
B
β
)
.
{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).}
这是单个粒子的磁化强度,固体 的总磁化强度由下式给出
M
=
n
⟨
μ
⟩
=
n
μ
tanh
(
μ
B
k
T
)
{\displaystyle M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}
其中n 是磁矩的数密度 。上式被称为朗之万顺磁方程。
皮埃尔·居里 (Pierre Curie)在实验中发现:当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中,这个定律的近似成立。在
T
{\displaystyle T}
值较大且
B
{\displaystyle B}
值较小时,上式中双曲正切 的自变量减少,即:
(
μ
B
k
T
)
≪
1
{\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}
上式有时被称为 居里区间 . 同时,我们知道如果
|
x
|
≪
1
{\displaystyle |x|\ll 1}
,那么
tanh
x
≈
x
{\displaystyle \tanh x\approx x}
,因此
M
(
T
→
∞
)
=
n
μ
2
k
B
T
,
{\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={n\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}
因此磁化强度也很小,有
B
≈
μ
0
H
{\displaystyle B\approx \mu _{0}H}
,可以得到
M
≈
μ
0
μ
2
n
k
H
T
,
{\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k)){\frac {H}{T)),}
更重要的一点是,磁化率由下式给出
χ
=
∂
M
∂
H
≈
M
H
{\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H))\approx {\frac {M}{H))}
即
χ
(
T
→
∞
)
=
C
T
,
{\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T)),}
其中 居里常数
C
=
μ
0
n
μ
2
/
k
{\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k}
,其单位是开尔文 (K)。[1]
在低温或高场的情况下,
M
{\displaystyle M}
趋向于
n
μ
{\displaystyle n\mu }
的最大值,对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子,泡利不相容原理禁止其自旋翻转,所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布,在低温下
M
{\displaystyle M}
线性依赖于磁场,因此磁化率饱和到一个常数。
当粒子具有任意自旋(任意数量的自旋状态)时,公式有点复杂。
在低磁场或高温下,自旋遵循居里定律,居里常数
C
=
μ
B
2
3
k
B
n
g
2
J
(
J
+
1
)
{\displaystyle C={\frac {\mu _{B}^{2)){3k_{B))}ng^{2}J(J+1)}
[2] 其中
J
{\displaystyle J}
是总角动量量子数 ,
g
{\displaystyle g}
是 自旋的
g
{\displaystyle g}
因子 (例如
μ
=
g
J
μ
B
{\displaystyle \mu =gJ\mu _{B))
是磁量子数)。
对于更一般的公式及其推导(包括高场强,低温),请参阅文章:布里渊函数 。 当自旋接近无穷大时,磁化公式接近下一节中推导的经典值。
当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时,适用另一种处理方法。在这种情况下,它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定,其中一个粒子的能量是
E
=
−
μ
B
cos
θ
,
{\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}
其中
θ
{\displaystyle \theta }
是磁矩和磁场之间的角度(假设磁场指向
z
{\displaystyle z}
轴)。对应的配分函数 为
Z
=
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
π
d
θ
sin
θ
exp
(
μ
B
β
cos
θ
)
.
{\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}
可以看出上式中被积函数对
ϕ
{\displaystyle \phi }
角没有依赖性,令
y
=
cos
θ
{\displaystyle y=\cos \theta }
以获得
Z
=
2
π
∫
−
1
1
d
y
exp
(
μ
B
β
y
)
=
2
π
exp
(
μ
B
β
)
−
exp
(
−
μ
B
β
)
μ
B
β
=
4
π
sinh
(
μ
B
β
)
μ
B
β
.
{\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .))
现在,磁化强度的
z
{\displaystyle z}
分量的预期值(另外两个被视为零,由于在
ϕ
{\displaystyle \phi }
上的积分),由下式给出
⟨
μ
z
⟩
=
1
Z
∫
0
2
π
d
ϕ
∫
0
π
d
θ
sin
θ
exp
(
μ
B
β
cos
θ
)
[
μ
cos
θ
]
.
{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}
为简化计算, 可以将其写作
Z
{\displaystyle Z}
微分:
⟨
μ
z
⟩
=
1
Z
β
∂
Z
∂
B
=
1
β
∂
ln
Z
∂
B
{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B))={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B))}
(这种方法也可以用于上面的模型,但计算非常简单,所以没有那么有用。)
继续推导发现
⟨
μ
z
⟩
=
μ
L
(
μ
B
β
)
,
{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}
其中
L
{\displaystyle L}
是郎之万函数 :
L
(
x
)
=
coth
x
−
1
x
.
{\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}
对于小
x
{\displaystyle x}
,此函数似乎是奇异的,但事实并非如此,因为两个奇异项相互抵消。事实上,它对小参数的极限是
L
(
x
)
≈
x
/
3
{\displaystyle L(x)\approx x/3}
,因此居里极限也适用,但在这种情况下,居里常数要小三倍。同样,对于其参数的较大值,函数在
1
{\displaystyle 1}
处饱和,并且同样会恢复相反的极限。