恒等函数

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恒等函数（英语：Identity function）是数学中对于传回和其输入值相同的函数的称呼。换句话说，恒等函数为函数 $f(x)~=~x$ 。

定义

设M为一集合，于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域和陪域M的函数，其对任一M内的元素x，会有 $f(x)=x$ 的关系。

于M上的恒等函数f通常标记为 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{m))$ 或 ${\displaystyle {1}_{m))$ 。

设f : M → N为任一函数，则会有f o id_M = f = id_N o f（其中"o"为函数复合）。特别地是，id_M会是所有由M至M的函数所组成之幺半群的单位元。

因为幺半群的单位元是唯一的，也可以反过来把M上的恒等函数定义为这个幺半群的单位元。此一定义广义化成了于范畴论中恒等态射的概念，其中M的自同态并不必然是函数。

分类

各种函数
$x \mapsto f (x)$
不同定义域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , ${\displaystyle \mathbb {B} ^{n))$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+))$ → $X$ $X$ →（英语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ →（英语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n))$ →（英语：Function of several complex variables） $X$
函数类/性质
常值恒等线性多项式有理代数解析光滑连续可测单射满射双射
构造
限制复合 λ 逆
推广
偏（英语：Partial function）多值隐
查论编