Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.
Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.
Нормою у векторному просторі над полем називають відображення що задовольняє наступним умовам:
- тільки при (невід'ємність)
- де — скаляр (однорідність)
- (нерівність трикутника)
Ці умови також відомі як аксіоми норми.
За допомогою норми векторний простір одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань Зазначимо, що для будь-яких виконується метрики на векторному просторі з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.
З геометричної думки, задання норми на — це те й саме, що і задання її одиничної кулі тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору що містить нульовий вектор серед своїх внутрішніх точок.
Нехай — це -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на визначається за формулою де — це стандартний скалярний добуток на Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.
Нехай але цього разу визначимо норму за формулою (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між і
Нехай але цього разу визначимо норму за формулою
Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом -вимірного простору полярним до -вимірного куба.
Нехай — дві норми визначені на одному і тому ж просторі . Якщо існує таке дійсне що для будь-якого то норма називається підпорядкованою нормі Якщо водночас і норма підпорядкована нормі , то такі дві норми називаються еквівалентними.
.mw-parser-output .hidden-begin{box-sizing:border-box;width:100%;padding:5px;border:none;font-size:95%}.mw-parser-output .hidden-title{font-weight:bold;line-height:1.6;text-align:left}.mw-parser-output .hidden-content{text-align:left}В іншому мовному розділі є повніша стаття
Norm (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою
перекладу з англійської. (січень 2018)
Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див.
Вікіпедія:Переклад.