Банахів простір — повний нормований векторний простір. Тобто векторний простір ${\displaystyle \ V}$ над полем дійсних або комплексних чисел з нормою ${\displaystyle ||\cdot ||}$ такою, що кожна фундаментальна послідовність є збіжною до елементу з ${\displaystyle \ V}$ за метрикою ${\displaystyle d(x,\ y)=\|x-y\|.}$ Центральний об'єкт у функціональному аналізі. Названий на честь Стефана Банаха.

Позначимо через${\displaystyle \ K}$ одне з полів — ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Відомі Евклідові простори${\displaystyle \ K^{n))$, де Евклідова норма вектора ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ визначається формулою

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))}.}$

Простір усіх неперервних функцій ${\displaystyle \ f:[a,b]\to K}$, визначених на закритому інтервалі ${\displaystyle [a,\,b]}$, є Банаховим простором, якщо ми визначимо норму як

${\displaystyle ||f||=\sup\{|f(x)|:x\in [a,\,b]\}.}$

Це — норма, оскільки неперервні функції, визначені на закритому інтервалі, є обмеженими. Простір є повним за цією нормою. Одержаний Банахів простір позначають ${\displaystyle \ C[a,b]}$. Цей приклад можна узагальнити до простору ${\displaystyle C(X)}$ усіх неперервних функцій ${\displaystyle X\to K}$, де ${\displaystyle X}$ — компактний простір, або до простору всіх обмежених неперервних функцій ${\displaystyle X\to K}$, де ${\displaystyle X}$ — будь-який топологічний простір, або до простору ${\displaystyle B(X)}$ всіх обмежених функцій ${\displaystyle X\to K}$, де ${\displaystyle X}$ — будь-яка множина.

В усіх наведених прикладах Банахові простори є замкненими відносно множення функції, тому вони є унітарними Банаховими алгебрами.

Якщо ${\displaystyle p\geq 1}$ — дійсне число, ми можемо розглядати простір усіх нескінчених послідовностей ${\displaystyle \ (x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$ елементів ${\displaystyle K}$ таких, що нескінчені ряди ${\displaystyle \sum |x_{i}|^{p))$ є збіжними. Корінь ${\displaystyle p}$-го степеня зі значення цього ряду за означенням є ${\displaystyle p}$-нормою послідовності. Цей простір разом із означеною нормою є Банаховим простором і позначається ${\displaystyle \ l^{p))$.

Банахів простір ${\displaystyle \ l^{\infty ))$ складається з усіх обмежених послідовностей елементів з ${\displaystyle K}$. За норму такої послідовності можна взяти верхню межу абсолютних значень членів послідовності.

Також, якщо p ≥ 1 — дійсне число, можемо розглядати всі функції f : [a, b] → K такі, що |f|^p є інтегровною за Лебеґом. За норму f беруть корінь p-го степеня з цього інтеграла. Сам собою цей простір не є Банаховим простором, оскільки є ненульові функції, норма яких дорівнює нулеві. Ми визначаємо співвідношення еквівалентності таким чином: f і g є еквівалентними тоді й тільки тоді, коли норма різниці f — g дорівнює нулеві. Тоді множина класів еквівалентності утворює Банахів простір, який позначають L ^p[a, b]. Тут суттєво застосовувати інтеграл Лебеґа, а не Рімана, оскільки Ріманів інтеграл не дає повного простору. Ці приклади можна узагальнити — див. Простір L ^p

Якщо X і Y — два Банахові простори, тоді можна утворити їхню пряму суму ${\displaystyle X\oplus Y}$, що також є Банаховим простором. Цю конструкцію можна узагальнити до прямої суми довільного числа Банахових просторів.

Якщо M є закритим лінійним підпростором Банахового простору X, тоді частка Банахового простору і цього підпростору X/M також є Банаховим простором.

Якщо V та W — Банахові простори над одним і тим самим полем K, сукупність усіх неперервних K-лінійних відображень або лінійних операторів A : V → W позначається L(V, W). Зверніть увагу на те, що в нескінченновимірних просторах не всі лінійні відображення автоматично є лінійними. L(V, W) є векторним простором. Якщо взяти за норму ||A|| = sup { ||Ax|| : x ∈ V, ||x|| ≤ 1 }, його можна розглядати як Банахів простір.

Простір L(V) = L(V, V) парних форм унітарної Банахової алгебри. Операція множення — композиція лінійних відображень.

Якщо V є Банаховим простором і K є полем (дійсним чи комплексним), тоді саме K є Банаховим простором (якщо брати абсолютну величину за норму), і ми можемо ввести дуальний простір до V як V' = L(V, K). Це також — Банахів простір. Він може застосовуватися для визначення нової топології на V — слабкої топології.

Існує природне відображення F з V в V'

${\displaystyle F(x)(f)=f(x)}$

для всіх x в V та f в V'. Згідно з теоремою Гана-Банаха, це відображення є ін'єкцією (відображенням «в»). Якщо воно також є сюр'єкцією (відображенням «на»), тоді Банахів простір V називають рефлексивним простором. Рефлексивні простори мають багато важливих геометричних властивостей. Простір є рефлексивним тоді й лише тоді, коли дуальний їх дуальні простори є рефлексивними, а це буває тоді й лише тоді, коли їх одинична куля є компактом у слабкій топології.

Наприклад, ${\displaystyle l^{p))$ є рефлексивним для ${\displaystyle 1<p<\infty }$, але ${\displaystyle l^{1))$ і ${\displaystyle l^{\infty ))$ не є рефлексивними. Дуальний простір до ${\displaystyle l^{p))$ є ${\displaystyle l^{q))$, де p та q зв'язані формулою (1/p) + (1/q) = 1. Дивіться Простір L ^p.

• Кожен Гільбертів простір є Банаховим простором, оскільки за означенням Гільбертів простір є повним за нормою, пов'язаною з його скалярним добутком.

• Критерієм того, що Банахів простір також є Гільбертовим простором, є тотожність паралелограма:

${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}).}$

Якщо норма Банахового простору задовольняє цю тотожність, цей простір також є Гільбертовим зі скалярним добутком, заданим поляризаційною тотожністю. Якщо V є дійсним Банаховим простором, поляризаційна тотожність така:

${\displaystyle (u,v)={\frac {1}{4))(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2})}$

тоді як для комплексного Банахового простору V поляризаційна тотожність — : ${\displaystyle (u,v)={\frac {1}{4))(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}-i(\|u+iv\|^{2}-\|u-iv\|^{2}))}$

для того, щоб побачити, чому паралелограм передбачає, що форма, визначена поляризаційною тотожністю, насправді є повним внутрішнім добутком, алгебраїчно перевіряють, чи є ця форма адитивною, звідки за математичною індукцією випливає, що форма є лінійною над цілими та раціональними числами. Далі, оскільки кожне дійсне число є границею деякої послідовності Коши раціональних чисел, повнота норми поширює лінійність на всю дійсну пряму.

У випадку комплексних чисел можна також перевірити, що білінійна форма є лінійною за i в одному з аргументів і спряжено-лінійною в іншому.

Можна визначити похідну функції f : V → W, що відображає один Банахів простір в інший. Інтуїтивно, якщо x є елементом V, похідна від f в точці x є неперервним лінійним відображенням, що є наближенням f в околі точки x

Формально f зветься диференційовною в x, якщо існує неперервне лінійне відображення A : V → W таке, що

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-A(h)\|}{\|h\|))=0}$

Границя тут береться по всіх послідовностях ненульових елементів в ${\displaystyle V}$, що збігаються до 0.
Якщо границя існує, пишемо ${\displaystyle {\rm {D))f(x)=A}$ та називаємо це похідною ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x}$.

Поняття похідної є фактично узагальненням звичайної похідної від функцій R → R, адже лінійні відображення з R в R є просто множенням на дійсні числа.

Якщо f є диференційовною в кожній точці x простору V, тоді Df : V → L(V, W) є іншим відображенням одного Банахового простору в інший (взагалі-то не лінійним відображенням!) і, можливо, також є диференційовним, таким чином визначаючи похідні вищих порядків від f. n-ту похідну в точці x можна розглядати як полілінійне відображення Vⁿ → W.

Диференціювання є лінійною операцією в такому сенсі: якщо ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ — два відображення V → W, що є диференційовними в точці x, і r та s є скалярами з K, тоді rf + sg є диференційовним в x, і ${\displaystyle {\rm {D))(rf+sg)(x)=r{\rm {D))(f)(x)+s{\rm {D))(g)(x)}$.

В цьому контексті також справджується правило ланцюга: якщо f : V → W диференційоване в точці x в V, і g : W → X є диференційовним в f(x), композиція g o f є диференційовною в x, і похідна є композицією похідних:

${\displaystyle D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)}$

Декілька важливих у функціональному аналізі просторів, наприклад, простір усіх нескінчених багатократно диференційовних функцій R → R або простір всіх розподілів на R є повними, але не нормованими векторними просторами, що відтак не є Банаховими просторами. У просторі Фреше існує повна метрика, тоді як простори LF є повними рівномірними векторними просторами, що виникають як границі просторів Фреше.

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
• Найперше відоме застосування деяких слів у математиці (англійською)