Поліноміальний розподіл
Параметри	${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots p_{k))$ (${\displaystyle \Sigma p_{i}=1}$)
Носій функції	${\displaystyle X_{i}\in \{0,\dots ,n\))$ ${\displaystyle \Sigma X_{i}=n\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!))p_{1}^{x_{1))\cdots p_{k}^{x_{k))}$
Середнє	${\displaystyle E\{X_{i}\}=np_{i))$
Дисперсія	${\displaystyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j))$ (${\displaystyle i\neq j}$)
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i))\right)^{n))$

У теорії імовірностей поліноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу. Біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей числа успіхів у незалежній схемі випробувань Бернуллі, з тією ж самою імовірністю успіху в кожному випробуванні.

Нехай ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n))$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, такі, що їх розподіл задається функцією імовірності:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$.

Інтуїтивно подія ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ означає, що дослід з номером ${\displaystyle i}$ привів до ${\displaystyle j}$. Нехай випадкова величина ${\displaystyle Y_{j))$ дорівнює кількості дослідів, що приводять до результату ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\)),\;j=1,\ldots ,k}$.

Тоді розподіл вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$ Має функцію імовірності

${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\((\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1}^{y_{1))\ldots p_{k}^{y_{k)),&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{i}\not =n\end{matrix))\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{0}^{k))$,

де

${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))}$ —

мультиноміальний коефіцієнт.

Математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle Y_{j))$ має вигляд: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$. Діагональні елементи матриці коваріації ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ є дисперсіями біноміальних випадкових величин, а тому

${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$.

Для інших елементів маємо

${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$.

Ранг матриці коваріації мультиноміального розподілу дорівнює ${\displaystyle k-1}$.

• Біноміальний розподіл
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Функція розподілу ймовірностей

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)