Формула мультинома — твердження, що узагальнює біном Ньютона на випадок довільної кількості доданків:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))x_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\dots x_{m}^{k_{m)).}$

Числа ${\displaystyle {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ називаються поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами.

Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m))$ таких, що ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}$:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m))={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!))={k_{1} \choose k_{1)){k_{1}+k_{2} \choose k_{2))\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m))}$

Біноміальний коефіцієнт ${\displaystyle {n \choose k))$ для невід’ємних ${\displaystyle n,k}$ є частковим випадком мультиноміального коефіцієнта (для ${\displaystyle m=2}$), а саме

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k,\ n-k))$.

В комбінаториці мультиноміальний коефіцієнт ${\displaystyle {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ дорівнює числу впорядкованих розбиттів ${\displaystyle n}$-елементарної множини на ${\displaystyle m}$ підмножини потужностей ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m))$.

Формулювання теореми можна записати в стислій формі використовуючи мультиіндекси:

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha ))$

де α = (α₁,α₂,…,α_m), x^α = x₁^α₁x₂^α₂⋯x_m^α_m.

Доведення з використанням біному Ньютона і математичної індукції по m.

Спочатку для m = 1, дві сторони рівності рівні x₁ⁿ так як існує тільки один член k₁ = n в сумі.  Для кроку індукції, припустимо що поліноміальна теорема вірна для т. 

Потім

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n))$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\cdots x_{m-1}^{k_{m-1))(x_{m}+x_{m+1})^{K))$

ідучи за припущенням індукції. Застосовуючи біном до останнього фактору,

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\cdots x_{m-1}^{k_{m-1))\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1))x_{m}^{k_{m))x_{m+1}^{k_{m+1))}$

${\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1))x_{1}^{k_{1))x_{2}^{k_{2))\cdots x_{m-1}^{k_{m-1))x_{m}^{k_{m))x_{m+1}^{k_{m+1))}$

який завершує індукцію. Останній крок випливає з цього:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1))={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1)),}$

в цьому легко переконатися записавши три коефіцієнти з використанням факторіалів наступним чином:

${\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!)){\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!))={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!)).}$

${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))=m^{n))$

Можна використовувати поліноміальну теорему для узагальнення трикутника Паскаля або піраміди Паскаля до симплекса Паскаля. Це забезпечує швидкий спосіб створення таблиці підстановки для поліноміальних коефіцієнтів.

• Формула тринома
• Поліноміальний розподіл

• Карнаух Т.О. Комбінаторика^{[недоступне посилання з липня 2019]}