Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!))}$

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)ⁿ, тоді

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k))$

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

• Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка n дорівнює 2ⁿ.
• Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків послідовність A001142 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS стосується основи натурального логарифма, e.^[1][2] А саме, визначимо послідовність s_n так:

${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{\binom {n}{k))=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!))~,~n\geq 0.}$

Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є

${\displaystyle {\frac {s_{n+1)){s_{n))}={\frac {(n+1)!^{(n+2)}\prod _{k=0}^{n+1}{k!^{-2))}{n!^{(n+1)}\prod _{k=0}^{n}{k!^{-2))))={\frac {(n+1)^{n)){n!))}$

і співвідношення цих співвідношень є

${\displaystyle {\frac {(s_{n+1})(s_{n-1})}{(s_{n})^{2))}=\left({\frac {n+1}{n))\right)^{n},~n\geq 1.}$

Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю

${\displaystyle {\textit {e))=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n}.}$

• Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( 11ⁿ, для рядка n). Отже, у рядку 2, ⟨1, 2, 1⟩ стає 11², тоді як ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 11⁵. Цю властивість пояснюють встановлюючи x = 10 у біноміальному розкладі (x + 1)ⁿ, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але x можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
  • У трійковій: 1 2 1₃ = 4² (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1₃ = 4³ (64)
  • За основою 9: 1 2 1₉ = 10² (100)
  •               1 3 3 1₉ = 10³ (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1₉ = 10⁵ (100000)

  Зокрема, для x = 1 значення в позиціях залишаються сталими (1^{позиція}=1). Отже, їх можна просто додати.

• Сума квадратів елементів рядка n дорівнює середньому елементу рядка 2n. Наприклад, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. У загальній формі:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$

• Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка n, де n є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме (n/2 + 1)му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, 6 − 1 = 5, що є третім числом Каталана і 4/2 + 1 = 3.
• Також цікавою властивістю є те, що в рядку p де p це просте число, всі елементи рядка діляться на p. Це можна легко довести, оскільки якщо ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, тоді p не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням ${\displaystyle (p-k)!}$ і ${\displaystyle k!}$ це дільники ${\displaystyle p!\,}$. Однак, власне p не може з'явитись у дільнику, отже p (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
• Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку n, переведіть n у двійкову систему. Нехай x буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде 2^x.^[3]
• Кожен елемент у рядку 2ⁿ-1, n ≥ 0, є непарним.^[4]
• Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:

• Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
• Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
• Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
• Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

• Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського.^[5] Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.

• Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Трикутник Паскаля визначає коефіцієнти, що виникають при біноміальному розкладі. Наприклад:

(a + b)² = a² + 2ab + b² = 1a²b⁰ + 2a¹b¹ + 1a⁰b².

Звернемо увагу, що утворені коефіцієнти - це числа в другому рядку трикутника Паскаля. Зазвичай, коли ми підносимо до цілого додатнього степеня n поліном вигляду (a + b) ми маємо:

(a + b)ⁿ = c₀aⁿ + c₁aⁿ⁻¹b + c₂aⁿ⁻²b² + ... + c_n−1abⁿ⁻¹ + c_nbⁿ,

де коефіцієнти c_i - це числа в n-му рядку трикутника Паскаля. Іншими словами: ${\displaystyle c_{i}={n \choose i}.}$ Можна побачити, що ми отримали біноміальну теорему. Звернемо увагу, що вся діагональ трикутника справа відповідає коефіцієнту перед bⁿ, наступна діагональ відповідає коефіцієнту перед abⁿ⁻¹ і так далі. Для того щоб побачити, як біноміальна теорема безпосередньо відноситься до трикутника Паскаля розглянемо як рахуються коефіцієнти перед елементом (a + 1)ⁿ (де b = 1 ).

${\displaystyle (a+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i}.}$

Розглянемо:

${\displaystyle (a+1)^{n+1}=(a+1)(a+1)^{n}=a(a+1)^{n}+(a+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i}.}$

Ці дві суми можуть бути записані наступним чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i}=\\&{}=\sum _{i=1}^{n+1}c_{i-1}a^{i}+\sum _{i=0}^{n}c_{i}a^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}c_{i-1}a^{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}a^{i}+c_{0}a^{0}+c_{n}a^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(c_{i-1}+c_{i})a^{i}+c_{0}a^{0}+c_{n}a^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(c_{i-1}+c_{i})a^{i}+a^{0}+a^{n+1}\end{aligned))}$

Тепер ми маємо вираз для многочленів вигляду (a + 1)ⁿ⁺¹ в термінах коефіцієнтів для (a + 1)ⁿ.Це і є те, що нам потрібно.

Нагадаємо, що всі числа на діагоналі, що йдуть від верхнього лівого до нижнього правого відповідають коефіцієнтам біля bⁿ. Звідси маємо, що для того щоб знайти будь-який не нульовий або (n+1) коефіцієнт необхідно просумувати елементи які знаходяться у рядку вище зліва та справа. Це основне правило побудови трикутника Паскаля. Цікавим є те, що якщо ми візьмемо a та b рівними одиниці, то (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ. Звідси маємо:

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.}$

Іншими словами сума елементів в n-му рядку трикутника Паскаля дорівнює ${\displaystyle 2^{n}.}$

• Центральний біноміальний коефіцієнт

• ''Weisstein, Eric W. Трикутник Паскаля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.