Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками і
дорівнює:
Довжина відрізка кривої, коли параметр пробігає значення від до , дається інтегралом:
Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію
, визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина також параметризує точки нашої кривої; називається натуральним параметром кривої.
Якщо вектор швидкості ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція всюди монотонно зростає і має обернену функцію .
Диференціюючи (3) за натуральним параметром маємо:
Отже вектор ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора нормалі до кривої, та скаляра який називається кривиною:
Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса дотичного кола:
Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої.
Нехай в точці з параметром маємо дотичний вектор , а в точці з параметром — дотичний вектор . Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити , то довжина третьої сторони буде дорівнювати:
Оскільки для кола радіуса маємо , то маємо для кривини кривої:
Другий спосіб: через рівняння кола.
Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:
Коло радіуса , дотичне до вектора , матиме центр в ортогональній до гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді , де є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:
Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):
Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює , і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:
Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку (), якщо:
Якщо евклідів простір має розмірність , то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор та вектор нормалі ) при русі вздовж кривої.
Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів і ) :
Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах і ):
Похідна бівектора за натуральним параметром дорівнює:
Звідси робимо висновок, що дві площини і перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор ):
Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту за натуральним параметром називається скрутом:
Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора і ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:
Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні за натуральним параметром від векторів репера (, i ) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що . Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів.
Почнемо з одиничного вектора нормалі . Із постійності величини цього вектора знаходимо:
Тобто похідна ортогональна до самого вектора нормалі , а тому розкладається по двом іншим векторам репера:
Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну :
Знайдемо коефіцієнти розкладу і .
З останньої формули видно, що (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора , а отже і дотичної до кривої площини ( є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням: .
Коефіцієнт можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на :
У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:
Ці рівняння відкрили два французькі математики: Жан Фредерік Френе[en] (1852) і Жозеф Альфред Серре[fr] (1851).
Коефіцієнт у формулах Френе — Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується крива в околі даної точки.
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!