Диференціальне числення
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Диференціальне числення | |
![]() | |
Тема вивчення/дослідження | похідна |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Класифікаційний код ACM 2012 | 10003734 |
Протилежне | інтегральне числення |
![]() |
Вибрані статті із | ||||
Числення | ||||
---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
Спеціалізоване |
||||
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/250px-Tangent_to_a_curve.svg.png)
Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.
Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.
Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.
Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.
Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою , де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, м/с2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту . Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту , але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від до дорівнює:
При необмеженому зменшенні проміжку , вираз (1) поступово наближується до . Цю величину називають швидкістю руху в момент часу . Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.
В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу , проміжку часу від до та закону руху, який виражається формулою . Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від до задається формулою , де , а швидкість руху у момент часу дорівнює:
Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (, ). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Tangent_problem.jpg/200px-Tangent_problem.jpg)
До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці . Нехай крива Г є графіком функції . Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута , який дотична утворює з додатнім напрямом осі .
Позначимо через абсцису точки , а через — абсцису точки . Кутовий коефіцієнт січної дорівнює:
,
де — приріст функції на проміжку . Якщо визначати дотичну у точці як граничне положення січної при прямує до нуля, то отримаємо:
.
Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції у точці називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:
.
За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю , де — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час , а також багато інших задач фізики та хімії.
Похідну функції позначають .
Якщо функція має похідну у точці , то вона визначена як у самій точці , так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці . Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція , графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при не має похідної, оскільки відношення не має границі при : якщо це відношення дорівнює , а якщо , то воно дорівнює . Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.
Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.
Якщо функція є складеною, тобто та , або всерівно що , то
Якщо похідна має похідну, то її називають другою похідною функції та позначають . З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.
Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: .
- Похідна від сталої:
- Похідна від степеневої функції:
- Похідна від показникової функції:
- Похідна від експоненти:
- Похідна від логарифмічної функції:
- Похідна від натурального логарифма:
- Похідна від синуса:
- Похідна від косинуса:
- Похідна від тангенса:
- Похідна від котангенса:
- Похідна від арксинуса:
- Похідна від арккосинуса:
- Сталу можна виносити за знак похідної:
- Сума та різниця похідних:
- Добуток похідних:
- Частка похідних:
Тут — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.
Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.
Диференціалом функції називається вираз , де приріст аргументу x.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- Ремез, Н. С. Вища математика. Спеціальні розділи: Диференціальне числення функцій двох змінних. Розрахункова робота (Електронний ресурс) [Архівовано 20 липня 2019 у Wayback Machine.] : навч. посіб. для здобувачів ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інженерна екологія та ресурсозбереження» / Н. С. Ремез, В. Ф. Мейш, В. О. Броницький ; КПІ ім. Ігоря Сікорського. — Електронні текстові дані (1 файл: 1,26 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019. — 77 с. — Назва з екрана.
- Математичний аналіз 1. Диференціальне числення функцій дійсної змінної. Збірник задач для розрахункових робіт (Електронний ресурс): навчальний. посібник для студентів спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: Ю. В. Богданський, В. Г. Бондаренко, А. Ю. Мальцев, Г. Б. Подколзін. — Електронні текстові дані (1 файл: 2,36 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2020. — 59 с.
- Механічний та геометричний зміст похідної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 259-261. — 594 с.
- Динамічні моделі FIZMA.neT [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.]
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.