Інтегрувальний множник
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Диференціальні рівняння |
---|
![]() |
Види рівнянь
|
Методи розв'язання
|
Відомі рівняння
|
Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.
Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі
Ідея полягає у віднайдені деякої функції , яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде
І множення на дає
Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по
Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до
Тоді ми інтегруємо обидва боки по , спочатку через перейменування у , отримуємо
Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:
У випадку однорідного диференціального рівняння, коли , ми отримуємо
де є сталою.
Розв'яжемо диференціальне рівняння
Можна побачити, що в цьому випадку
- (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)
Множимо на і отримуємо
Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку
або
що нам дає
Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.