Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS A073009, A083648):

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x))}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}=1,29128599706266354\dots \!\,,\\I_{1}&=\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}=0,78343051071213440\dots \!\,,\end{aligned))}$

ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.

Ime "sanje nezrelega", ki se pojavi v (Borwein, Bailey & Girgensohn 2004) harv error: no target: CITEREFBorweinBaileyGirgensohn2004 (pomoč) je podobno imenu "sanje začetnika", ki se nanaša na nepravilno^{[note 1]} identiteto (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ. Sanje nezrelega imajo podoben predobro-da-bi-bilo-res občutek, ampak velja.

Dokaže se druga enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.

Dokaz poteka po korakih:

• zapiše se x^x = exp(x ln x),
• exp(x ln x) se razvije s potenčno vrsto za exp,
• integrira se členoma,
• integrira se z vpeljavo spremenljivke.

x^x se razvije kot:

${\displaystyle x^{x}=e^{x\ln x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\ln x)^{n)){n!))\!\ .}$

Vrsta se členoma integrira:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n)){n!))\mathrm {d} x\!\,.}$

Izračunajo se členi z integracijo po delih. Najprej se integrira člen ${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;\mathrm {d} x}$ z uvedbo spremenljivke ${\displaystyle u=(\ln x)^{n))$, kjer je ${\displaystyle \mathrm {d} v=x^{m}\;\mathrm {d} x}$. Tako sledi:

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n)){m+1))-{\frac {n}{m+1))\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1)){x))\mathrm {d} x,\qquad m\in \mathbb {Z} _{0}\setminus -1\!\,}$

in naprej:

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{m+1)){m+1))\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i)){(m+1)^{i))}(\ln x)^{n-i}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle (n)_{i))$ Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.

V tem primeru je m = n in obe števili sta celi, tako da je:

${\displaystyle \int x^{n}(\ln x)^{n}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1)){n+1))\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i)){(n+1)^{i))}(\ln x)^{n-i}\!\,.}$

Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+))x^{m}(\ln x)^{n}=0}$ po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je ${\displaystyle \ln(1)=0}$), tako da sledi:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n)){n!))\;\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{n!)){\frac {1^{n+1)){n+1))(-1)^{n}{\frac {(n)_{n)){(n+1)^{n))}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\!\,.}$

Enačba sledi, če se dvigne indeks na ${\displaystyle n=1}$.

Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS A077178, A137420):

${\displaystyle I_{2}=[1;3,2,3,4,3,1,2,1,1,6,7,2,5,3,1,2,\ldots ]=\left\{1,{\frac {4}{3)),{\frac {9}{7)),{\frac {31}{24)),{\frac {133}{103)),{\frac {430}{333)),{\frac {563}{436)),{\frac {1556}{1205)),\ldots \right\}\!\,,}$

${\displaystyle I_{1}=[0;1,3,1,1,1,1,1,1,2,4,7,2,1,2,1,1,\ldots ]=\left\{0,1,{\frac {3}{4)),{\frac {4}{5)),{\frac {7}{9)),{\frac {11}{14)),{\frac {18}{23)),{\frac {29}{37)),{\frac {47}{60)),{\frac {123}{157)),\ldots \right\}\!\,.}$

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Sophomore's Dream«. MathWorld.