Seznam števil Iracionalna števila γ ζ(3) ρ √2 Φ √3 √5 δS e π δ
dvojiško	1,0011001110111010...
desetiško	1,2020569031595942854...
šestnajstiško	1,33BA004F00621383...
verižni ulomek	${\displaystyle [1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,\cdots \!\,}$ Verižni ulomek ${\displaystyle \zeta (3)\!\,}$ je neskončen, ni pa znano ali je periodičen ali ne.

Apéryjeva konstanta je v matematiki, na meji med teorijo števil in specialnimi funkcijami, vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil. Določena je kot število:

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3))}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3))}+{\frac {1}{2^{3))}+\cdots +{\frac {1}{n^{3))}\right)\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \zeta \!\,}$ Riemannova funkcija zeta. Njena približna desetiška vrednost je enaka (OEIS A002117):^[1]

${\displaystyle \zeta (3)=1,20205\ 69031\ 59594\ 28539\ 97381\ 61511\ 44999\ 07649\ 86292\ldots \!\,.}$

Konstanta se imenuje po Rogerju Apéryju. Naravno se pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda elektronskega giromagnetnega razmerja s pomočjo kvantne elektrodinamike (QED). Pojavlja se tudi pri analizi naključnih minimalno vpetih dreves^[2] in v povezavi s funkcijo gama pri reševanju določenih integralov z eksponentnimi funkcijami v količniku, ki se občasno pojavlja v fiziki, na primer pri izračunavanju dvorazsežnega primera Debyjevega modela in Sfefan-Boltzmannovega zakona.

Apéry je leta 1978 dokazal, da je konstanta iracionalno število.^[3] Ta rezultat je znan kot Apéryjev izrek. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje.^[4] Kasneje so našli preprostejše dokaze.^[5][6]

Beukersov preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za ${\displaystyle \zeta (3)\!\,}$:

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\!\,}$

z Legendrovimi polinomi. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

${\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2))\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy))\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=b_{n}\zeta (3)-a_{n}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2)))^{4n}\!\,}$, ${\displaystyle P_{n}(z)\!\,}$ Legendrovi polinomi, podzaporedja ${\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }$ pa so cela ali skoraj cela števila.

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta transcendentno število.

• Baselski problem