Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере. 

Первые примеры экзотических сфер были построены Джоном Милнором в размерности 7; он доказал, что на ${\displaystyle S^{7))$ существует как минимум 7 различных гладких структур. Теперь известно, что на ориентированной ${\displaystyle S^{7))$ существует 28 различных гладких структур (15 без учёта ориентации).

Эти примеры, так называемые сферы Милнора, были найдены среди пространств ${\displaystyle S^{3))$-расслоений над ${\displaystyle S^{4))$. Такие расслоения классифицируются двумя целыми числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — элементом ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))}$. Некоторые из этих расслоений ${\displaystyle M_{a,b))$ гомеоморфны стандартной сфере, и при этом не диффеоморфны ей.

Поскольку ${\displaystyle M_{a,b))$ односвязны, согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, проверка гомеоморфности ${\displaystyle M_{a,b))$ и ${\displaystyle S^{7))$ сводится к подсчёту гомологий ${\displaystyle M_{a,b))$; это условие накладывает определённые условия на ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

В доказательстве не диффеоморфности Милнор рассуждает от противного. Он замечает, что многообразие ${\displaystyle M_{a,b))$ представляют из себя границу 8-мерного многообразия — пространства ${\displaystyle W_{a,b))$ расслоения диска ${\displaystyle D^{4))$ над ${\displaystyle S^{4))$. Далее, если ${\displaystyle M_{a,b))$ диффеоморфно стандартной сфере, то ${\displaystyle W_{a,b))$ можно заклеить шаром, получив замкнутое гладкое 8-мерное многообразие. Подсчёт сигнатуры полученного многообразия через его числа Понтрягина приводит к противоречию.

Связная сумма двух экзотических n-мерных сфер — также экзотическая сфера. Операция связной суммы превращает различные гладкие структуры на ориентированной n-мерной сфере в моноид, называемый моноидом экзотических сфер.

Для ${\displaystyle n\neq 4}$ известно, что моноид экзотических сфер является абелевой группой, называемой группой экзотических сфер.

Эта группа тривиальна для ${\displaystyle n=1,2,3,5,6}$. То есть в этих размерностях существование гомеоморфизма на стандартную сферу ${\displaystyle S^{n))$ влечёт существование диффеоморфизма на ${\displaystyle S^{n))$. При ${\displaystyle n=7}$ она изоморфна циклической группе порядка 28. То есть существует семимерная экзотическая сфера ${\displaystyle \Sigma ^{7))$, такая, что любая 7-мерная экзотическая сфера диффеоморфна связной сумме нескольких копий ${\displaystyle \Sigma ^{7))$; при этом связная сумма 28 копий ${\displaystyle \Sigma ^{7))$ диффеоморфна стандартной сфере ${\displaystyle S^{7))$.

Группа экзотических сфер изоморфна группе Θ_n классов ориентированных h-кобордизмов гомотопической n-сферы. Эта группа конечна и абелева.

Группа ${\displaystyle \Theta _{n))$ имеет циклическую подгруппу

${\displaystyle bP_{n+1))$,

соответствующую ${\displaystyle n}$-сферам, которые ограничивают параллелизуемые многообразия.

• Если n чётное, то группа ${\displaystyle bP_{n+1))$ тривиальна,
• Если ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4))}$, то группа ${\displaystyle bP_{n+1))$ имеет порядок 1 или 2
  • Она имеет порядок 1 при n = 1, 5, 13, 29 или 61.
  • Она имеет порядок 2 при ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4))}$, если при этом ${\displaystyle n\neq 2^{k}-3}$
• Если ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {4))}$, то есть ${\displaystyle n+1=4m}$, то при ${\displaystyle m\geq 2}$ порядок равен

  • ${\displaystyle |bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B}$,

где ${\displaystyle B}$ — это числитель дроби ${\displaystyle |4B_{2m}/m|}$, ${\displaystyle B_{2m))$ — числа Бернулли. (Иногда формула несколько отличается из-за разных определений чисел Бернулли.)

Факторгруппы ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1))$ описываются через стабильные гомотопические группы сфер по модулю образа J-гомоморфизма). Точнее, существует инъективный гомоморфизм

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J}$,

где ${\displaystyle \pi _{n}^{S))$ — n-я стабильная гомотопическая группа сфер, и ${\displaystyle J}$ — образ J-гомоморфизма. Этот гомоморфизм либо является изоморфизмом, либо имеет образ индекса 2. Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с инвариантом Кервера^[англ.] 1.

Вопрос о существовании такого многообразия называется задачей Кервера. По состоянию на 2012 год она не решена только для случая ${\displaystyle n=126}$. Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62.

Размерность n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Порядок Θn	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Порядок bPn+1	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
Порядок Θn/bPn+1	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Порядок πnS/J	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Индекс	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Дальнейшие значения в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических группы сфер.

В нечётных размерностях сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61))$ и только они имеют единственную гладкую структуру^[1].

В размерности ${\displaystyle n=4}$ практически ничего не известно о моноиде гладких сфер, кроме того, что он является конечным или счётно-бесконечным и абелевым. Неизвестно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерной сфере. Утверждение, что их нет, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре».

Так называемое скручивание Глака состоит в вырезании трубчатой окрестности 2-сферы S² в S⁴ и вклеивании его обратно с помощью диффеоморфизма его границы ${\displaystyle S^{2}\times S^{1))$. Результат всегда гомеоморфен S⁴, но в большинстве случаев неизвестно, диффеоморфен ли он S⁴.

Пусть дан диффеоморфизм ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1))$, сохраняющий ориентацию. Склеив две копии шара по отображению ${\displaystyle f}$ между границами, получим так называемую сферу, скрученную диффеоморфизмом ${\displaystyle f}$. Скрученная сфера гомеоморфна стандартной, но, вообще говоря, не диффеоморфна ей.

Иначе говоря, многообразие называется скрученной сферой, если оно допускает функцию Морса ровно с двумя критическими точками.

• При n ≠ 4 любая экзотическая сфера диффеоморфна некоторой скрученной сфере.
• При n = 4 любая скрученная сфера диффеоморфна стандартной.

• Многообразие Брискорна
• Дикая сфера

• Akbulut, Selman (2009), Cappell–Shaneson homotopy spheres are standard, arXiv:0907.0136
• Brieskorn, Egbert V. (1966), "Examples of singular normal complex spaces which are topological manifolds", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi:10.1073/pnas.55.6.1395, MR 0198497, PMC 224331, PMID 16578636
• Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Math. 2 (1): 1–14, doi:10.1007/BF01403388, MR 0206972
• Browder, William (1969), "The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi:10.2307/1970686, JSTOR 1970686, MR 0251736
• Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincaré conjecture", Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv:0906.5177, doi:10.4171/qt/5
• Gluck, Herman (1962), "The embedding of two-spheres in the four-sphere", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi:10.2307/1993581, JSTOR 1993581, MR 0146807
• Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten, Lecture Notes in Mathematics 57, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0074355, MR 0229251 Эта книга описывает труды Брискорна, в которых экзотические сферы связываются с сингулярностями комплексных многообразий.
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963). "Groups of homotopy spheres: I" (PDF). Annals of Mathematics (Princeton University Press) 77 (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. MR 0148075. – Эта работа описывает структуру группы гладких структур на n-сфере при n>4. К сожалению, анонсированная статья "Groups of Homotopy Spheres: II" никогда не вышла, но материалы лекций Левина содержат тот материал, который она, по-видимому, могла содержать.
• Levine, J.P. (1985), "Lectures on groups of homotopy spheres", Algebraic and geometric topology, Lecture Notes in Mathematics 1126, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi:10.1007/BFb0074439, MR 8757031
• Milnor, John W. (1956), "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi:10.2307/1969983, JSTOR 1969983, MR 0082103
  • Дж. Милнор. О многообразиях, гомеоморфных семимерной сфере // Математика. — 1957. — № 3. — С. 35—42.
• Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères", Bulletin de la Société Mathématique de France 87: 439–444, MR 0117744
• Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structures on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi:10.2307/2372998, JSTOR 2372998, MR 0110107
• Milnor, John (2000), "Classification of (n − 1)-connected 2n-dimensional manifolds and the discovery of exotic spheres", in Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1, Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528
• Milnor, John Willard (2009), "Fifty years ago: topology of manifolds in the 50's and 60's", in Mrowka, Tomasz S.; Ozsváth., Peter S., Low dimensional topology. Lecture notes from the 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School held in Park City, UT, Summer 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
• Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
• Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor sphere" (недоступная ссылка), in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), "The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres", Annals of Mathematics, 186 (2): 501—580, arXiv:1601.02184, doi:10.4007/annals.2017.186.2.3, MR 3702672.

• Экзотические сферы на Manifold Atlas  (недоступная ссылка с 06-05-2016 [3059 дней])
• Экзотические сферы. Исходные материалы, относящийся к экзотическим сферам.
• Анимации экзотических 7-сфер — видео из доклада Найлза Джонсона со Второй Абелевской конференции.
• Gluck_construction