Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству ${\displaystyle X}$ сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$, занумерованных натуральными числами ${\displaystyle k}$. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации^[1].

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию^[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,A)}$ с коэффициентами в абелевой группе ${\displaystyle A}$, относительные гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ пары пространств ${\displaystyle X\supset Y}$ и когомологии ${\displaystyle H^{k}(X)}$, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения ${\displaystyle H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)}$, превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Напомним, что ${\displaystyle k}$-тая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$ — это множество отображений из ${\displaystyle k}$-мерной сферы в ${\displaystyle X}$, рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$ отображения сфер заменяют на ${\displaystyle k}$-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности ${\displaystyle k}$ внутри ${\displaystyle X}$, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа ${\displaystyle k}$-циклов — ${\displaystyle Z_{k}(X)}$ (от нем. Zyklus — «цикл»), группа ${\displaystyle k}$-границ — ${\displaystyle B_{k}(X)}$ (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

${\displaystyle H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)}$.

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности ${\displaystyle k>2}$ приводит к некоторым трудностям^[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы ${\displaystyle k}$-цепей ${\displaystyle C_{k}(X)}$, состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в ${\displaystyle X}$ неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы ${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)}$. Тогда ${\displaystyle k}$-циклы определяются как ${\displaystyle k}$-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

${\displaystyle Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))}$.

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: ${\displaystyle \partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0}$, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
• Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы ${\displaystyle G}$. То есть, вместо групп ${\displaystyle C_{k}(X)}$ рассматривать группы ${\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}$.

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ обозначаются ${\displaystyle H_{k}(X;G).}$ Обычно применяют группу действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, или циклическую группу вычетов по модулю ${\displaystyle m}$ — ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m))$, причём обычно берётся ${\displaystyle m=p}$ — простое число, тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p))$ является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу ${\displaystyle C_{*}(X)}$

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {))C_{n-1}(X){\xleftarrow {))C_{n}(X){\xleftarrow {))C_{n+1}(X){\xleftarrow {))\ldots }$

функтор ${\displaystyle \cdot \otimes G}$, мы получим комплекс

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {))C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {))C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {))C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {))\ldots }$,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в ${\displaystyle G}$.

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу ${\displaystyle G}$. То есть, пространство коцепей ${\displaystyle C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}$.

Граничный оператор ${\displaystyle \delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1))$ определяется по формуле: ${\displaystyle (\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)}$ (где ${\displaystyle x\in C^{k},\;c\in C_{k+1))$). Для такого граничного оператора также выполняется

${\displaystyle \delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}$, а именно

${\displaystyle (\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}$.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k))$, кограниц ${\displaystyle B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1))$ и когомологий ${\displaystyle H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}$.

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если ${\displaystyle G}$ — кольцо, то в группе когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,G)}$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или ${\displaystyle \cup }$-произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда ${\displaystyle X}$ — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {R} )}$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на ${\displaystyle X}$ (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Возьмём случай двух топологических пространств ${\displaystyle Y\subset X}$. Группа цепей ${\displaystyle C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)}$ (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ${\displaystyle G}$). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы ${\displaystyle C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}$. Так как граничный оператор ${\displaystyle d}$ на группе гомологий подпространства ${\displaystyle Y}$ переводит ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}$, то можно определить на факторгруппе ${\displaystyle C_{k}(X,Y)}$ граничный оператор (мы его обозначим так же) ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}$.

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в ${\displaystyle 0}$ будут называться относительными циклами ${\displaystyle Z_{k}(X,Y)}$, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами ${\displaystyle B_{k}(X,Y)}$. Так как ${\displaystyle dd=0}$ на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда ${\displaystyle B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}$. Факторгруппа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)}$ называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в ${\displaystyle H_{k}(X)}$ является также и относительным то имеем гомоморфизм ${\displaystyle j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ По функториальному свойству вложение ${\displaystyle i_{k}:Y\to X}$ приводит к гомоморфизму ${\displaystyle i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$.

В свою очередь можно построить гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$, который мы определим следующим образом. Пусть ${\displaystyle c_{k}\in C_{k}(X,Y)}$ — относительная цепь, которая определяет цикл из ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$. Рассмотрим её как абсолютную цепь в ${\displaystyle C_{k}(X)}$ (с точностью до элементов ${\displaystyle C_{k}(Y)}$). Так как это относительный цикл, то ${\displaystyle d_{k}c}$ будет равен нулю с точностью до некоторой цепи ${\displaystyle c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}$. Положим ${\displaystyle d_{*k))$ равным классу гомологий цепи ${\displaystyle c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}$.

Если мы возьмём другую абсолютную цепь ${\displaystyle c'_{k}\in C_{k}(X)}$, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь ${\displaystyle c=c'+u}$, где ${\displaystyle u\in C_{k}(Y)}$. Имеем ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u}$, но так как ${\displaystyle d_{k}u}$ является границей в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$ то ${\displaystyle d_{k}c}$ и ${\displaystyle d_{k}c'}$ определяют один и тот же элемент в группе гомологий ${\displaystyle H_{k-1}(Y)}$. Если взять другой относительный цикл ${\displaystyle c''}$, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий ${\displaystyle c=c''+b}$, где ${\displaystyle b}$ — относительная граница, то в силу того, что ${\displaystyle b}$ граница для относительных гомологий ${\displaystyle b=d_{k+1}x+v}$, где ${\displaystyle v\in C_{k}(Y)}$ , отсюда ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}$, но ${\displaystyle dd=0}$, а ${\displaystyle d_{k}v}$ — граница в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$.

Поэтому класс гомологий ${\displaystyle d_{*k}c_{k))$ определен однозначно. Ясно по линейности оператора ${\displaystyle d_{*k))$, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$;

${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ и

${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$;

${\displaystyle ...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...}$

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар ${\displaystyle D}$ топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D,}$ то ${\displaystyle (X,X)\in D,}$ ${\displaystyle (X,\varnothing )\in D,}$ ${\displaystyle (Y,Y)\in D}$ и ${\displaystyle (Y,\varnothing )\in D}$.
2. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D}$, то и ${\displaystyle (X\times I,Y\times I)\in D}$, где ${\displaystyle I}$ — замкнутый интервал [0,1].
3. ${\displaystyle (*,\varnothing )\in D}$, где ${\displaystyle *}$ — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ и непрерывному отображению пар ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует гомоморфизм ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ (Пространство ${\displaystyle X}$ отождествляется с парой ${\displaystyle (X,\varnothing )}$), а ${\displaystyle H_{k}(X)}$ с ${\displaystyle H_{k}(X,\varnothing )}$), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары ${\displaystyle id}$ соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle id_{*k))$.
2. ${\displaystyle (gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k))$ (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$, причём если ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$, то для соответствующего гомоморфизма ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ верно ${\displaystyle d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k))$ для любой размерности ${\displaystyle k}$.
4. Пусть ${\displaystyle i\colon Y\to X}$ и ${\displaystyle j\colon X\to (X,Y)}$ — вложения, ${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$ и ${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ — соответствующие гомоморфизмы, ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   ${\displaystyle \ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots }$
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения ${\displaystyle f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны ${\displaystyle f_{*k}=g_{*k))$ для любой размерности ${\displaystyle k}$ (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть ${\displaystyle U\subset X}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X}$, причём его замыкание содержится во внутренности множества ${\displaystyle Y}$, тогда если пары ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)}$ и ${\displaystyle (X,Y)}$ принадлежат допустимому классу, то для любой размерности ${\displaystyle k}$ вложению ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)}$ соответствует изоморфизм ${\displaystyle H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)}$ (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства ${\displaystyle H_{k}(*)=0}$ для всех размерностей ${\displaystyle k>0}$. Абелева группа ${\displaystyle G=H_{0}(*)}$ называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ их отображения и граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*))$ удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует ${\displaystyle f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)}$ (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм ${\displaystyle \delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)}$ увеличивает размерность.

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей ${\displaystyle k>0}$, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
• Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.

Топология
Разделы	Теоретико-множественная Маломерная двумерная трёхмерная четырёхмерная Дифференциальная Геометрическая[англ.] теория узлов теория кос Комбинаторная Гомотопическая Алгебраическая Алгоритмическая
Основные понятия	Метрическое пространство Топологическое пространство Гомеоморфизм Симплициальный комплекс CW-комплекс Вложение Путь петля Гомотопия ретракция изотопия объемлющая изотопия Расслоение Пучок
Многообразия	Поверхность Трёхмерное многообразие Ориентация Связная сумма Разложение на ручки Слоение Бордизм Коэффициент зацепления Степень отображения
Топологические инварианты	Связность Компактность Эйлерова характеристика Первая группа гомологий Первая группа когомологий Числа Бетти Размерность Фундаментальная группа Конфигурационное пространство Группа классов отображений Когомологии Гомотопические группы