Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Пусть ${\displaystyle X}$ — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ найдется её окрестность ${\displaystyle U}$, гомеоморфная открытому подмножеству пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$, то ${\displaystyle X}$ называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности ${\displaystyle n}$.

Пара ${\displaystyle (U,\phi )}$, где ${\displaystyle \phi }$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$. Таким образом, каждой точке соответствует набор ${\displaystyle n}$ вещественных чисел ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, которые называются координатами в карте ${\displaystyle (U,\phi )}$. Множество карт ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}$ называется ${\displaystyle C^{k))$-атласом ${\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}$ многообразия ${\displaystyle X}$, если:

• совокупность всех ${\displaystyle U_{\alpha ))$ покрывает ${\displaystyle X}$, т.е. ${\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha ))$
• для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ таких, что ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$, отображение:

${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

является гладким отображением класса ${\displaystyle C^{k))$;

${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))$ является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ с картой ${\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}$

Два ${\displaystyle C^{k))$-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует ${\displaystyle C^{k))$-атлас. Совокупность ${\displaystyle C^{k))$-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые ${\displaystyle C^{k))$-структурами, при ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }$ — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие ${\displaystyle X}$, наделенное ${\displaystyle C^{k))$-структурой, называется ${\displaystyle C^{k))$-гладким многообразием.

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую ${\displaystyle C^{a))$-структурой.

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ более общих пространств ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n))$ или даже ${\displaystyle K^{n))$, где ${\displaystyle K}$ — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) ${\displaystyle C^{k))$-структуры (${\displaystyle k\geqslant 1}$) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней ${\displaystyle C^{\infty ))$-структура, и на ${\displaystyle C^{\infty ))$-многообразии,${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$, — ${\displaystyle C^{r))$-структура, если ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}$. Наоборот, любое паракомпактное ${\displaystyle C^{r))$-многообразие, ${\displaystyle r\geqslant 1}$, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что ${\displaystyle C^{0))$-многообразие нельзя наделить ${\displaystyle C^{1))$-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число ${\displaystyle \theta (n)}$ ${\displaystyle C^{1))$-неизоморфных ${\displaystyle C^{\infty ))$-структур на ${\displaystyle n}$-мерной сфере равно:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
${\displaystyle \theta (n)}$	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ — непрерывное отображение ${\displaystyle C^{r))$-многообразий ${\displaystyle X,Y}$; оно называется ${\displaystyle C^{k))$-морфизмом (или ${\displaystyle C^{k))$-отображением, ${\displaystyle k\leqslant r}$, или отображением класса ${\displaystyle C^{k))$) гладких многообразий, если для любой пары карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ на X и ${\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}$ на Y такой, что ${\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta ))$ и отображение:

${\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}$

принадлежит классу ${\displaystyle C^{k))$. Биективное отображение ${\displaystyle f}$, если оно и ${\displaystyle f^{-1))$ являются ${\displaystyle C^{k))$-отображениями, называется ${\displaystyle C^{k))$-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и их ${\displaystyle C^{r))$-структуры называются ${\displaystyle C^{k))$-изоморфными.

Подмножество ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$-мерного ${\displaystyle C^{k))$-многообразия ${\displaystyle X}$ называется ${\displaystyle C^{k))$-подмногообразием размерности ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle X}$, если для произвольной точки ${\displaystyle y\in Y}$ существует карта ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle C^{k))$-структуры ${\displaystyle X}$, такая, что ${\displaystyle y\in U}$ и ${\displaystyle \phi }$ индуцирует гомеоморфизм ${\displaystyle U\cap Y}$ с (замкнутым) подпространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n))$; иными словами, существует карта с координатами ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$, такая, что ${\displaystyle U\cap Y}$ определяется соотношениями ${\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}$.

Отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется ${\displaystyle C^{k))$-вложением, если ${\displaystyle f(X)}$ является ${\displaystyle C^{k))$-подмногообразием в ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle X\to f(X)}$ — ${\displaystyle C^{k))$-диффеоморфизм.

Любое ${\displaystyle n}$-мерное ${\displaystyle C^{k))$-многообразие допускает вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1))$, а также в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений ${\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.