Фундаментальная последовательность
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное.
Определение
[править | править код]Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
- Для всякого найдётся такое натуральное , что для всех .
Связанные определения
[править | править код]- Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.
Свойства
[править | править код]- Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
- Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
- Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
- Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Литература
[править | править код]- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М.: Наука, 1970.
Последовательности и ряды | |
---|---|
Последовательности | |
Ряды, основное | |
Числовые ряды (действия с числовыми рядами) | |
Функциональные ряды | |
Другие виды рядов |
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.