Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (1668):

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2)){2))+{\frac {x^{3)){3))-{\frac {x^{4)){4))+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1)){n))x^{n))$

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям»^[1].

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ^[2].

Ряд Меркатора сходится при ${\displaystyle -1<x\leqslant 1,}$ хотя сходимость довольно медленная. При ${\displaystyle |x|<1}$ ряд сходится абсолютно.

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение ${\displaystyle \ln 2}$ в бесконечный ряд^[3]:

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1\cdot 2))+{\frac {1}{3\cdot 4))+{\frac {1}{5\cdot 6))\dots }$

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел»^[3].

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции^[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{1+x))=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots }$

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений ${\displaystyle x=0{,}1}$ и ${\displaystyle x=0{,}21}$. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при ${\displaystyle 0\leqslant x<1}$ (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации^[5]. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»^[1].

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x))\right)=2\left(x+{\frac {x^{3)){3))+{\frac {x^{5)){5))+{\frac {x^{7)){7))+\dots \right)}$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число ${\displaystyle z={\frac {1+x}{1-x))}$, ибо тогда ${\displaystyle x={\frac {z-1}{z+1))}$ по абсолютной величине меньше единицы^[5]. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для ${\displaystyle \ln 2}$ равна ${\displaystyle 0{,}646,}$ здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение ${\displaystyle 0{,}6931471805498,}$ в котором верны 10 знаков из 13^[6].

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n)){n))=z+{\frac {z^{2)){2))+{\frac {z^{3)){3))+{\frac {z^{4)){4))+\cdots }$

Это ряд Тейлора для комплексной функции ${\displaystyle f(z)=-\ln(1-z),}$ где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге ${\displaystyle |z|\leqslant 1,z\neq 1}$.

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

• Абельсон И. Б. Меркатор находит ключ // Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Weisstein, Eric W. Mercator Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал (Праймориал * Символ Похгаммера * Субфакториал) Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё