Тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом .
Доказательство
1. По условиям теоремы, последовательность членов является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма членов, начиная с , не превосходит :
Сгруппируем члены ряда и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:
То есть, если ряд сходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более сходится.
2. Аналогично:
То есть если ряд расходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более расходится.
Например, если рассматривать последовательность , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном , то согласно указанной теореме ряд сходится или расходится одновременно с рядом , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом при любой выбранной константе .
↑Cauchy A.L.I.re partie: Analyse algébrique // Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — С. 135-136. — 576 с.
↑Bertrand J.Premiére Partie. Calcul Différentiel // Traité de Calcul Différentiel et de Calcul Intégral (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1864. — С. 234-235. — 780 с.
↑Borel E. Leçons sur les Séries a Termes Positifs (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1902. — 91 с.
↑Schlömilch O. Ueber dei gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen (нем.) // ZfMuP. — 1873. — Bd. b28. — S. 425-426.
D. D. Bonar and M. Khoury, Jr.More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!