Признак Бертрана (де Моргана — Бертрана) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном^[1]. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Если существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$, выполняется неравенство

${\displaystyle B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n)){a_{n+1))}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$ сходится.

Если же ${\displaystyle B_{n}\leqslant 1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n}$, то ряд расходится.

Если существует предел:

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }B_{n))$

то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle B<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle B=1}$, то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

• Признак Раабе

• Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

• Weisstein, Eric W. Bertrand's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://vuz.exponenta.ru/PDF/raabe.html

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n))$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича