Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n))$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности^[1]:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$.

Интуитивно событие ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ означает, что испытание с номером ${\displaystyle i}$ привело к исходу ${\displaystyle j}$. Пусть случайная величина ${\displaystyle Y_{j))$ равна количеству испытаний, приведших к исходу ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\)),\;j=1,\ldots ,k}$.

Тогда распределение вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$ имеет функцию вероятности

${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\((\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1}^{y_{1))\ldots p_{k}^{y_{k)),&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix))\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))$,

где

${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))}$ — мультиномиальный коэффициент.

Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle Y_{j))$ имеет вид^[1]: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$. Диагональные элементы матрицы ковариации ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$.

Для остальных элементов имеем

${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен ${\displaystyle k-1}$.

• М. де Гроот^[англ.]. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая норвежская Большая российская (научно-образовательный портал) Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	GND: 4263656-5