Перпендикуля́рность (от лат. perpendicularis — букв. отвесный)^[1] — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ записывают как ${\displaystyle m\perp n}$.

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.

Про прямую ${\displaystyle m}$ перпендикулярную к прямой ${\displaystyle \ell }$ проведённую через точку ${\displaystyle P}$ вне прямой ${\displaystyle \ell }$, говорят, что ${\displaystyle m}$ есть перпендикуляр опущенный из ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle \ell }$. Если же точка ${\displaystyle P}$ лежит на прямой ${\displaystyle \ell }$, то говорят, что ${\displaystyle m}$ есть перпендикуляр к восстановленный из ${\displaystyle P}$ к ${\displaystyle \ell }$ (устаревший термин восставленный^[2]).

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

${\displaystyle y=a\cdot x+b}$

и

${\displaystyle y=k\cdot x+m}$

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

${\displaystyle a\cdot k=-1.}$

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Пусть прямая задаётся точками ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$ и ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$. На прямую опускается перпендикуляр из точки ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$. Тогда основание перпендикуляра ${\displaystyle O(x_{o},y_{o})}$ можно найти следующим образом.

Если ${\displaystyle x_{a}=x_{b))$ (вертикаль), то ${\displaystyle x_{o}=x_{a))$ и ${\displaystyle y_{o}=y_{p))$. Если ${\displaystyle y_{a}=y_{b))$ (горизонталь), то ${\displaystyle x_{o}=x_{p))$ и ${\displaystyle y_{o}=y_{a))$.

Во всех остальных случаях:

${\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2))))$;

${\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})))+y_{p))$.

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения^[3].

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно ${\displaystyle {\tbinom {4}{2))=6}$: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Пусть задано n-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство ${\displaystyle W^{n))$, а прямая l с направляющим векторным пространством ${\displaystyle L^{1))$ и гиперплоскость ${\displaystyle \Pi _{k))$ с направляющим векторным пространством ${\displaystyle L^{k))$ (где ${\displaystyle L_{1}\subset W^{n))$, ${\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k<n}$) принадлежат пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости ${\displaystyle \Pi _{k))$, если подпространство ${\displaystyle L_{1))$ ортогонально подпространству ${\displaystyle L^{k))$, то есть ${\displaystyle (\forall {\vec {a))\in L_{1})\ (\forall {\vec {b))\in L_{k})\ {\vec {a)){\vec {b))=0}$

• В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности ${\displaystyle \Gamma }$.
• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности ${\displaystyle \Gamma }$, если она проходит через центр последней.

• Нормаль
• Параллельность
• Ортогональность
• Высота
• Теорема о трёх перпендикулярах