Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности, главное свойство которой — отсутствие треугольников (однако структура содержит много четырёхугольников). Обобщённый четырёхугольник является по определению полярным пространством^[англ.] ранга два. Обобщённые четырёхугольники являются обобщёнными многоугольниками с n = 4 и почти 2n-угольниками с n = 2. Они являются также в точности частичными геометриями pg(s,t,α) с α = 1.

Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности (P,B, I), где ${\displaystyle \mathrm {I} \subseteq P\times B}$ — отношение инцидентности, удовлетворяющее определённым аксиомам. Элементы P по определению являются вершинами (точками) обобщённого четырёхугольника, элементы B — прямыми. Аксиомы следующие:

• Существует число s (s ≥ 1), такое, что на любой прямой имеется в точности s + 1 точек. Существует максимум одна точка на двух различных прямых.
• Существует число t (t ≥ 1), такое, что через любую точку проходит в точности t + 1 прямых. Существует максимум одна прямая через две различные точки.
• Для любой точки p, не лежащей на прямой L, существует единственная прямая M и единственная точка q, такие, что p лежит на M, а q лежит на M и L.

Пара чисел (s,t) является параметрами обобщённого четырёхугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если либо число s, либо t равно единице, обобщённый четырёхугольник называется тривиальным. Например, решётка 3x3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным обобщённым четырёхугольником с s = 2 и t = 1. Обобщённый четырёхугольник с параметрами (s,t) часто обозначается как GQ(s,t) (от английского Generalized Quadrangle).

Наименьший нетривиальный обобщённый четырёхугольник — GQ(2,2), представление которого в 1973 Стэн Пейн назвал «салфеткой».

• ${\displaystyle |P|=(st+1)(s+1)}$
• ${\displaystyle |B|=(st+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle (s+t)|st(s+1)(t+1)}$
• ${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2))$
• ${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Есть два интересных графа, которые можно получить из обобщённого четырёхугольника.

• Граф коллинеарности, содержащий все точки обобщённого четырёхугольника в качестве вершин, в котором коллинеарные точки соединены ребром. Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), где (s,t) — порядок четырёхугольника.
• Граф инцидентности, вершинами которого являются все точки и прямые обобщённого четырёхугольника и две вершины смежны, если одна вершина соответствует прямой, а другая — точке на этой прямой. Граф инцидентности обобщённого четырёхугольника связен и является двудольным графом с диаметром четыре и обхватом восемь. Таким образом, обобщённый четырёхугольник является примером клетки. Графы инцидентности конфигураций в настоящее время называют графами Леви, однако исходный граф Леви был графом инцидентности обобщённого четырёхугольника GQ(2,2).

Если (P,B,I) — обобщённый четурёхугольник с параметрами (s,t), тогда (B,P,I⁻¹) также является обобщённым четырёхугольником (здесь I⁻¹ означает обратное отношение инцидентности). Этот четырёхугольник называется двойственным обобщённым четырёхугольником. Его параметрами будет пара (t,s). Даже при s = t двойственная структура не обязательно изоморфна исходной структуре.

Существует в точности пять (допускается вырождение) обобщённых четырёхугольников, в которых каждая прямая имеет три инцидентные ей точки

1. четырёхугольник с пустым множеством прямых
2. четырёхугольник, в котором все прямые проходят через фиксированную точку, что соответствует мельнице Wd(3,n)
3. решётка размером 3x3
4. четырёхугольник W(2)
5. обобщённый четырёхугольник GQ(2,4)

Эти пять четырёхугольников соответствуют пяти системам корней в ADE классах A_n, D_n, E₆, E₇ и E₈ , т.е. однониточные системы корней (это означает, что в диаграммах Дынкина элементы не имеют кратных связей)^[1][2].

Если рассматривать различные виды полярных пространств^[англ.] ранга по меньшей мере три и экстраполировать их на ранг 2, можно обнаружить эти (конечные) обобщённые четырёхугольники:

• Гиперболическая поверхность второго порядка (квадрика) ${\displaystyle Q^{+}(3,q)}$, параболическая квадрика ${\displaystyle Q(4,q)}$ и эллиптическая квадрика ${\displaystyle Q^{-}(5,q)}$ являются единственными возможными квадриками в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Параметры этих квадриков:

${\displaystyle Q(3,q):\ s=q,t=1}$ (это просто решётка)

${\displaystyle Q(4,q):\ s=q,t=q}$

${\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2))$

• Эрмитово многообразие ${\displaystyle H(n,q^{2})}$ имеет проективный индекс 1 тогда и только тогда, когда n равно 3 или 4. Мы имеем:

${\displaystyle H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q}$

${\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))$

• Симплектическая полярность в ${\displaystyle PG(2d+1,q)}$ имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда ${\displaystyle d=1}$. Здесь мы имеет обобщённый четырёхугольник ${\displaystyle W(3,q)}$, с параметрами ${\displaystyle s=q,t=q}$.

Обобщённый четырёхугольник, производный от ${\displaystyle Q(4,q)}$ всегда изоморфен двойственной структуре к ${\displaystyle W(3,q)}$, обе структуры самодвойственны, а потому изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle q}$ чётно.

• Пусть O — гиперовал^[англ.] в ${\displaystyle PG(2,q)}$ с q, равным чётной степенью простого числа, и вложение этой проективной (дезарговой) плоскости ${\displaystyle \pi }$ в ${\displaystyle PG(3,q)}$. Теперь рассмотрим структуру инцидентности ${\displaystyle T_{2}^{*}(O)}$, в которой все точки являются точками, не лежащими на ${\displaystyle \pi }$. Прямые этой структуры — это точки, не лежащие в ${\displaystyle \pi }$ и пересекающие ${\displaystyle \pi }$ в точке O, а инцидентность определяется естественным образом. Это (q-1,q+1)-обобщённый четырёхугольник.
• Пусть q — степень простого числа (нечётная или чётная). Рассмотрим симплектическую полярность ${\displaystyle \theta }$ в ${\displaystyle PG(3,q)}$. Выберем случайную точку p и определим ${\displaystyle \pi =p^{\theta ))$. Пусть прямыми нашей структуры инцидентности будут все абсолютные прямые^[3], не лежащие в ${\displaystyle \pi }$, вместе со всеми прямыми, проходящими через точку p, но не лежащими на ${\displaystyle \pi }$, а точками — все точки ${\displaystyle PG(3,q)}$, не лежащие на ${\displaystyle \pi }$. Отношением инцидентности будет естественная инцидентность. Мы получили опять (q-1,q+1)-обобщённый четырёхугольник.

Для решёток и двойственных решёток для любого целого числа z, z ≥ 1 есть обобщённые четырёхугольники с параметрами (1,z) и (z,1). Кроме этого случая, лишь следующие параметры найдены допустимыми (здесь q — произвольная степень простого числа):

${\displaystyle (q,q)}$

${\displaystyle (q,q^{2})}$ и ${\displaystyle (q^{2},q)}$

${\displaystyle (q^{2},q^{3})}$ и ${\displaystyle (q^{3},q^{2})}$

${\displaystyle (q-1,q+1)}$ и ${\displaystyle (q+1,q-1)}$