Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Пусть функция ${\displaystyle f}$ является выпуклой на некотором интервале ${\displaystyle I}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n))$ (веса) таковы, что

${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}$.

Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))$ из ${\displaystyle I}$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n}),}$

или

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$.

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2))}$:

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2)){2))\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2))}$.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i));\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ является выпуклой комбинацией ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ плоскости, лежащих на графике функции ${\displaystyle f}$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции ${\displaystyle f}$, а это и означает, что ${\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i)))\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})))$.

Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — выпуклая функция, ${\displaystyle \mu }$ — вероятностная мера, а функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi (f)}$ интегрируемы. Тогда^[1]

${\displaystyle \varphi \left(\int f\,d\mu \right)\leqslant \int \varphi (f)\,d\mu .}$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a))\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )}$, то

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\displaystyle {\mathcal {G))\subset {\mathcal {F))}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G))])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G))]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G))]}$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G))}$.

• Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n))$ — положительные числа, ${\displaystyle p,q>1}$, причём ${\displaystyle {\frac {1}{p))+{\frac {1}{q))=1}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i))\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i))^{p}\right)^{\frac {1}{p))\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i))^{q}\right)^{\frac {1}{q))}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i))\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))\right)}$, или ${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i))}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))}$. Потенцируя, получаем неравенство ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i))}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))}$.

В частности, при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n))}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]((\phantom {1))\!x_{1}\ldots x_{n))}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n)){n))}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i))}$. Положив ${\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i))}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i))))))$ и потенцируя, получаем:

${\displaystyle {\frac {n}((\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n))$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x))}$ (выпуклая функция). Имеем: ${\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i))))\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i)){x_{i))}.}$

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n))}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {n}((\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n)){n)).}$

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.