Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером^[1] как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе

${\displaystyle U(x)={\frac {-U_{0)){\mathrm {ch} ^{2}ax))=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax}$

Глубина потенциальной ямы ${\displaystyle U_{0))$ обычно параметризуется в виде:

${\displaystyle U_{0}={\frac {\hbar ^{2)){2m))a^{2}\lambda (\lambda -1)}$.

Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.

Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2)){2m))\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2)){2m))a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax))\Psi (x)=E\Psi (x).}$

Если ввести обозначение ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$, то оно примет вид:

${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax))\right)\Psi (x)=0.}$

После замены переменных

${\displaystyle y=\mathrm {ch^{2)) ax}$

получим

${\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2))-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k^{2)){4a^{2))}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y))\right)\Psi (y)=0.}$

Если подставить решение в виде

${\displaystyle \Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2))v(y)}$,

то уравнение приводится к гипергеометрическому виду

${\displaystyle y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2))\right)-(\lambda -1)y\right)v'(y)-{\frac {1}{4))\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2)){a^{2))}\right)v=0}$

Обозначая

${\displaystyle a={\frac {1}{2))\left(\lambda +i{\frac {k}{a))\right)\qquad b={\frac {1}{2))\left(\lambda -i{\frac {k}{a))\right)}$

общее решение примет вид

${\displaystyle v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y)^{\frac {1}{2))\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));1-y\right)}$

В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:

${\displaystyle {\hat {P))\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),}$

Чётное решение соответствует ${\displaystyle A=1}$ и ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle \Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)}$

Нечётное решение соответствует ${\displaystyle A=0}$ и ${\displaystyle B=1}$

${\displaystyle \Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)}$

Для удобства обозначим ${\displaystyle k=i\kappa }$, тогда энергия запишется как

${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2)){2m)).}$

Параметры гипергеометрических функций примут вид

${\displaystyle a={\frac {1}{2))\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a))\right)\qquad b={\frac {1}{2))\left(\lambda +{\frac {\kappa }{a))\right).}$

Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид

${\displaystyle {\frac {\kappa }{a))=\lambda -2-2k}$,

для чётных

${\displaystyle {\frac {\kappa }{a))=\lambda -1-2k}$

Объединяя эти условия, получим уровни энергии:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2)){2m))(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda -1,\;n\in \mathbb {Z} _{+))$

Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:

${\displaystyle R={\frac {1}{1+p^{2))},\qquad T={\frac {p^{2)){1+p^{2))},}$

где введено обозначение

${\displaystyle p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).}$

При ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ получим, что ${\displaystyle p=\infty }$ и

${\displaystyle R=0,\qquad T=1.}$

Таким образом, при ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$ модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.

Заменой ${\displaystyle u=\mathrm {th} ax}$ уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению

${\displaystyle ((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a))\right)^{2}{\frac {1}{1-u^{2))}\Psi (u)=0.}$

Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра

${\displaystyle \Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu }(u),}$

где ${\displaystyle \mu =ik/a}$.

• Потенциал Пёшль — Теллера

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

• I. G. Kaplan. Intermolecular interactions. — 2006.

• Paul Harrison. Quantum wells, wires, and dots. — 2005.

Модели квантовой механики
Одномерные без учёта спина	Свободная частица Яма с бесконечными стенками Прямоугольная квантовая яма Дельтообразный потенциал Треугольная квантовая яма Гармонический осциллятор Потенциальная ступенька Потенциальная яма Пёшль — Теллера Модифицированная потенциальная яма Пёшль — Теллера Частица в периодическом потенциале Дираковская потенциальная гребёнка Частица в кольце
Многомерные без учёта спина	Круговой осциллятор Ион молекулы водорода Симметричный волчок Сферически-симметрические потенциалы Потенциал Вудса — Саксона Задача Кеплера Потенциал Юкавы Потенциал Морзе Потенциал Хюльтена Молекулярный потенциал Кратцера Экспоненциальный потенциал
С учётом спина	Атом водорода Гидрид-ион Атом гелия