Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой ${\displaystyle m}$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

${\displaystyle \!{\hat {H))={\frac ((\hat {p))^{2)){2m))+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q))^{2)){2))}$

В координатном представлении ${\displaystyle {\hat {p))=-i\hbar \partial /\partial x}$ , ${\displaystyle {\hat {q))=x}$. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2)){2m)){\frac {\partial ^{2)){\partial x^{2))}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2)){2))\psi (x)=E\psi (x)}$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots }$

решение имеет вид:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!))}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar ))\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2)){2\hbar ))\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar ))}x\right),}$

функции ${\displaystyle H_{n))$ — полиномы Эрмита:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2)){\frac {d^{n)){dx^{n))}e^{-x^{2))}$

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ${\displaystyle \hbar \omega }$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно ${\displaystyle \hbar \omega /2}$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения — ${\displaystyle {\hat {a))^{+))$, оператор уничтожения — ${\displaystyle {\hat {a))}$, их коммутатор равен

${\displaystyle [{\hat {a)),{\hat {a))^{+}]={\hat {a)){\hat {a))^{+}-{\hat {a))^{+}{\hat {a))={\frac {i}{\hbar ))({\hat {p)){\hat {q))-{\hat {q)){\hat {p)))=1}$

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

${\displaystyle {\hat {H))=\hbar \omega \left({\hat {a))^{+}{\hat {a))+{\frac {1}{2))\right)=\hbar \omega \left({\hat {n))+{\frac {1}{2))\right)}$

где ${\displaystyle {\hat {n))={\hat {a))^{+}{\hat {a))}$ — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

${\displaystyle {\hat {H))=((\hat {p))^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q))^{2}+\lambda {\hat {q))^{3))$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

${\displaystyle \lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a))+{\hat {a))^{+})^{3}.}$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния ${\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }$ равна

${\displaystyle \Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .}$

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\displaystyle {\hat {H))=\sum _{i=1}^{N}((\hat {p))_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q))_{i}-{\hat {q))_{j})^{2))$

Здесь под ${\displaystyle {\hat {q))_{i))$ и ${\displaystyle {\hat {p))_{i))$ подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс ${\displaystyle i}$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Под влиянием внешней силы ${\displaystyle f(t)}$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (${\displaystyle n}$) на другой (${\displaystyle m}$). Вероятность этого перехода ${\displaystyle W_{n,m}(t)}$ для осциллятора без затухания даётся формулой

${\displaystyle W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!))|\delta |^{2(n-m)}\exp \left(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)}$,

где функция ${\displaystyle \delta (t)}$ определяется как

${\displaystyle \delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )\exp(i\omega \tau )d\tau ))$,

а ${\displaystyle L_{m}^{m-n))$ — полиномы Лагерра.

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).

Модели квантовой механики
Одномерные без учёта спина	Свободная частица Яма с бесконечными стенками Прямоугольная квантовая яма Дельтообразный потенциал Треугольная квантовая яма Гармонический осциллятор Потенциальная ступенька Потенциальная яма Пёшль — Теллера Модифицированная потенциальная яма Пёшль — Теллера Частица в периодическом потенциале Дираковская потенциальная гребёнка Частица в кольце
Многомерные без учёта спина	Круговой осциллятор Ион молекулы водорода Симметричный волчок Сферически-симметрические потенциалы Потенциал Вудса — Саксона Задача Кеплера Потенциал Юкавы Потенциал Морзе Потенциал Хюльтена Молекулярный потенциал Кратцера Экспоненциальный потенциал
С учётом спина	Атом водорода Гидрид-ион Атом гелия