În matematică o n-sferă este un spațiu topologic care este homeomorf cu n-sfera "standard", care este mulțimea punctelor din spațiul euclidian (n+1)-dimensional care sunt situate la o distanță constantă r de un punct fix, numit centru. Este generalizarea unei sfere obișnuite din spațiul tridimensional obișnuit. Raza unei sfere este distanța constantă a punctelor sale până la centru. Când sfera are raza egală cu o unitate, de obicei este numită n-sferă unitate, sau, pe scurt, n-sferă. În ceea ce privește norma standard, n-sfera este definită drept

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

iar n-sfera de rază r este definită drept

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

Dimensiunea unei n-sfere este n, care nu trebuie confundată cu dimensiunea (n+1) a spațiului euclidian care o conține în mod natural. O n-sferă este suprafața care mărginește o bilă (n+1)-dimensională.

În particular:

• perechea de puncte de la capetele unui segment (unidimensional) este o 0-sferă,
• un cerc, care este circumferința unidimensională a unui disc bidimensional, este o 1-sferă,
• suprafața bidimensională a unei bile tridimensionale este o 2-sferă, numită uzual sferă,
• frontiera tridimensională a unei 4-bile (cvadridimensională) este o 3-sferă,
• frontiera n–1-dimensională a unei n-bile (n-dimensională) este o (n–1)-sferă.

Pentru n ≥ 2 n-sferele, care sunt varietăți diferențiabile^⁠(d), pot fi caracterizate (până la un difeomorfism) ca fiind varietăți n-dimensionale simplu conexe, cu curbură constantă pozitivă. n-sferele admit alte câteva descrieri topologice: de exemplu, ele pot fi construite prin lipirea împreună a două spații euclidiene n-dimensionale, identificând limita unui n-cub cu un punct, sau (inductiv) prin formarea suspensiei unei (n–1)-sfere. 1-sfera este o 1-varietate care este un cerc, care nu este simplu conex. O 0-sferă este o 0-varietate formată din două puncte, care nici măcar nu sunt conexe.

Prin hipersferă se înțelege în general o n-sferă cu n > 2.

Mulțimea punctelor din (n+1)-spațiu, (x₁, x₂, ..., x_n+1) care definește o n-sferă, ${\displaystyle S^{n}(r)}$ este dată de ecuația:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

unde c = (c₁, c₂, ..., c_n+1) este centrul, iar r este raza.

n-sfera de mai sus există în spațiul euclidian (n+1)-dimensional și este un exemplu de n-varietate. Volumul ω unei n-sfere de rază r este dat de

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r))\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

unde ∗ este operatorul Hodge^⁠(d) (stea); v. Flanders (1989, §6.1) pentru demonstrație în cazul r = 1. Rezultă

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

Spațiul închis de o n-sferă se numește (n+1)-bilă. O (n+1)-bilă este închisă dacă include n-sfera și este deschisă dacă nu o include.

În particular:

• o 1-bilă este un segment, interiorul unei 0-sfere,
• o 2-bilă este un disc, interiorul unui cerc (1-sferă),
• o 3-bilă este o bilă obișnuită, interiorul unei sfere (2-sferă),
• o 4-bilă este interiorul unei 3-sfere etc.

Prin hiperbilă se înțelege în general o n-bilă cu n > 2.

Topologic, o n-sferă poate fi construită ca o compactificare^⁠(d) a spațiului euclidian n-dimensional. Pe scurt, n-sfera poate fi descrisă ca Sⁿ = ℝⁿ ∪ {∞}, care este spațiul euclidian n-dimensional plus un singur punct care reprezintă infinitul în toate direcțiile. În particular, dacă un singur punct este înlăturat de pe o n-sferă, ea devine homeomorfă cu ℝⁿ. Asta formează baza proiecției stereografice.^[1]

V_n(R) și S_n(R) sunt volumul n-dimensional al bilei n-dimensionale, respectiv aria suprafeței n-sferei n + 1-dimensionale, de rază R.

Constantele V_n și S_n (pentru R = 1, bila și sfera unitate) sunt legate prin relațiile de recurență:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n)){n+1))\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned))}$

Ariile și volumele sunt date și de relațiile:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2))}{\Gamma \left({\frac {n}{2))\right)))R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2))}{\Gamma \left({\frac {n}{2))+1\right)))R^{n}\end{aligned))}$

unde Γ este funcția gamma.

În general, volumul n-bilei de rază R din spațiul euclidian n-dimensional și aria suprafeței n-sferei de rază R din spațiul euclidian (n+1)-dimensional sunt proporționale cu a n-a putere a razei R (cu diferite constante de proporționalitate care depind de n). Se poate scrie V_n(R) = V_nRⁿ pentru volumul n-bilei și S_n(R) = S_nRⁿ pentru aria suprafeței n-sferei, ambele de rază R, unde V_n = V_n(1) și S_n = S_n(1) sunt valorile pentru raza 1.

În teorie, se pot compara valorile S_n(R) și S_m(R) pentru n ≠ m. Totuși, acestea nu sunt bine definite. De exemplu, dacă n = 2 și m = 3 atunci comparația este de parcă s-ar compara un număr de metri pătrați cu alt număr de metri cubi. La fel la compararea V_n(R) cu V_m(R) pentru n ≠ m.

0-bila este formată dintr-un singur punct. Dimensiunea Hausdorff este numărul de puncte al mulțimii. Prin urmare,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

0-sfera este formată din două puncte de capăt, {−1,1}. Prin urmare,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

1-bila unitate este intervalul [−1,1] de lungime 2. Prin urmare,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

1-sfera este cercul unitate din planul euclidian, care are circumferința (1-dimensională)

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

Zona închisă de 1-sferă este 2-bila, sau discul unitate, care are aria (2-dimensională)

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

Analog, în spațiul euclidian 3-dimensional, aria suprafeței (2-dimensională) a 2-sferei este

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,}$

iar volumul închis de 3-bila unitate (3-dimensională), este

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3))\pi .}$

La fel cum o sferă bidimensională din spațiul tridimensional poate fi proiectată pe un plan bidimensional printr-o proiecție stereografică, o n-sferă poate fi proiectată pe un hiperplan n-dimensional de versiunea n-dimensională a proiecției stereografice. De exemplu, punctul [x,y,z] de pe o sferă bidimensională de rază 1corespunde punctului [x/1 − z,y/1 − z] din planul xy. Altfel spus,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z)),{\frac {y}{1-z))\right].}$

Analog, proiecția stereografică a unei n-sfere Sⁿ⁻¹ de rază 1 va fi aplicată pe hiperplanul (n−1)-dimensional ℝⁿ⁻¹ perpendicular pe axa x_n ca

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1)){1-x_{n))},{\frac {x_{2)){1-x_{n))},\ldots ,{\frac {x_{n-1)){1-x_{n))}\right].}$

• en Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• en Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7 (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces). 
• en Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Chapter 14: The Hypersphere). 
• en Marsaglia, G. (1972). „Choosing a Point from the Surface of a Sphere”. Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644. 
• en Huber, Greg (1982). „Gamma function derivation of n-sphere volumes”. Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933. 
• en Barnea, Nir (1999). „Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction”. Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135. 

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Hypersphere la MathWorld.

v d m Dimensiuni
Spații dimensionale	Spațiu vectorial Spațiu euclidian Spațiu afin Spațiu proiectiv Modul liber Varietate geometrică Varietate algebrică Spațiu-timp
Alte dimensiuni	Krull Acoperire Lebesgue Inductivă Hausdorff Minkowski Fractală Grad de libertate
Politopuri și forme	Hiperplan Hipersuprafață Hipercub Hiperdreptunghi Ortoplex Semihipercub Hipersferă Simplex
Dimensiuni după număr	Zero Una Două Trei Patru Cinci Șase Șapte Opt Nouă n-dimensiuni Dimensiuni negative
Vezi și	Hiperspațiu
Categorie