Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma ${\displaystyle {\frac {1}{2))}$, bem como ${\displaystyle {\frac {5}{10))}$. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma ${\displaystyle a_{0}+{\frac {b_{1)){a_{1}+{\frac {b_{2)){a_{2}+{\frac {b_{3)){a_{3}+\cdots ))))))}$, em que o primeiro termo, ${\displaystyle a_{0))$, é um número inteiro e os demais números ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots ,}$ são números inteiros positivos.

Frações continuadas simples são expressões da forma ${\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{\ddots ))))))))}$, em que todos os números ${\displaystyle b_{j))$ são iguais a 1. Uma expressão da forma ${\displaystyle a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{\ddots +{\frac {1}{a_{n))))))))))$ é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}$ e ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$. Observe que o termo ${\displaystyle a_{0))$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: ${\displaystyle {\frac {10}{7))=1+{\frac {3}{7))=1+{\frac {1}{\frac {7}{3))}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3))))=[1;2,3]}$

${\displaystyle -{\frac {18}{5))=-4+{\frac {2}{5))=-4+{\frac {1}{\frac {5}{2))}=-4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2))))=[-4;2,2]}$

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número ${\displaystyle {\frac {344}{77))}$ na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se ${\displaystyle 344=4\times 77+36}$. Logo, ${\displaystyle {\frac {344}{77))=4+{\frac {36}{77))}$.

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma ${\displaystyle {\frac {1}{\frac {77}{36))))$. Com isso, obtém-se a expressão ${\displaystyle {\frac {344}{77))=4+{\frac {36}{77))=4+{\frac {1}{\frac {77}{36))))$.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, ${\displaystyle {\frac {77}{36))=2+{\frac {5}{36))=2+{\frac {1}{\frac {36}{5))))$.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: ${\displaystyle {\frac {344}{77))=4+{\frac {36}{77))=4+{\frac {1}{\frac {77}{36))}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\frac {36}{5))))}=4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{7+{\frac {1}{5))))))}$.^[1]

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma ${\displaystyle {\frac {1}{\frac {5}{1))))$, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número ${\displaystyle {\frac {344}{77))}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número ${\displaystyle {\frac {344}{77))}$ é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

É conveniente denotar repetições periódicas da forma ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,\ldots ]}$ por ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},{\overline {r,s))]}$.

Exemplo. Vamos verificar que ${\displaystyle [2;2,2,2,\ldots ]=[2;{\overline {2))\,]={\sqrt {2))+1}$. De fato, como ${\displaystyle ({\sqrt {2))+1)\cdot ({\sqrt {2))-1)=1}$, podemos escrever, ${\displaystyle {\sqrt {2))-1={\frac {1}((\sqrt {2))+1))}$

Também são verdadeiras as igualdades ${\displaystyle {\sqrt {2))+1={\sqrt {2))+(2-1)=2+({\sqrt {2))-1)}$. Pode-se concluir que ${\displaystyle {\sqrt {2))+1=2+{\frac {1}((\sqrt {2))+1))}$

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

${\displaystyle {\sqrt {2))+1=2+{\frac {1}((\sqrt {2))+1))=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}((\sqrt {2))+1))))=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}((\sqrt {2))+1))))))=\ldots =2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots ))))))}$

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: ${\displaystyle x=2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots ))))))\iff x-2={\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\ldots ))))))={\frac {1}{x))\iff (x-2)x=1\iff x^{2}-2x-1=0}$

Como ${\displaystyle x}$ é um número positivo, concluímos que ${\displaystyle x=1+{\sqrt {2))}$.

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Se ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$, chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots }$ dados por:

${\displaystyle c_{0}=a_{0},c_{1}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1))},c_{2}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2))))},\cdots ,c_{n}=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{\cdots +{\frac {1}{a_{n))))))},\cdots }$,

ou seja, ${\displaystyle c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],\cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\cdots }$

A existência do limite da sequência das frações parciais ${\displaystyle (c_{n})_{n))$ deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

• O número de ouro, dado por ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5))}{2))}$ pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: ${\displaystyle [1;{\overline {1))\,]}$.

Os convergentes do número de ouro são ${\displaystyle [1]=1,[1;1]=1+{\frac {1}{1))=2,[1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1))))={\frac {3}{2)),[1;1,1,1]={\frac {5}{3)),[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5)),[1;1,1,1,1,1]={\frac {13}{8)),\cdots }$ É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro ${\displaystyle ({\frac {1}{1)),{\frac {2}{1)),{\frac {3}{2)),{\frac {5}{3)),{\frac {8}{5)),{\frac {13}{8)),\ldots )}$ formam a sequência de Fibonacci ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots }$

• ${\displaystyle {\sqrt {3))=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]=[1;{\overline {1,2))]}$
• ${\displaystyle {\sqrt {7))=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=[2;{\overline {1,1,1,4))]}$

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

• Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

${\displaystyle {\sqrt {13))=3+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+{\frac {4}{6+\ldots ))))))}$

• William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

${\displaystyle {\frac {4}{\pi ))=1+{\frac {1}{2+{\frac {9}{2+{\frac {25}{2+{\frac {49}{2+{\frac {81}{2+\ldots ))))))))))}$, que foi uma descoberta muito importante para a história do número ${\displaystyle \pi }$.

• Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número ${\displaystyle e}$, definido por ${\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {1}{n)))^{n))$ cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]}$

• Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número ${\displaystyle \pi }$ é irracional, usando frações continuadas para calcular ${\displaystyle \tan(x)}$ da forma

${\displaystyle \tan(x)={\frac {1}((\frac {1}{x))-{\frac {1}((\frac {3}{x))-{\frac {1}((\frac {5}{x))-\cdots ))))))}$ Lambert usou essa expressão para concluir que se ${\displaystyle x}$ é um número racional não nulo, então ${\displaystyle \tan(x)}$ não pode ser um número racional. Sendo assim, como ${\displaystyle \tan({\frac {\pi }{4)))=1}$, então ${\displaystyle \pi }$ não pode ser racional.

• Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Alguns exemplos de frações contínuas:
${\displaystyle {\sqrt {2))=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]}$
${\displaystyle {\sqrt {3))=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]}$
${\displaystyle {\sqrt {5))=[2;4,4,4,4,4,\dots ]}$
${\displaystyle {\sqrt {7))=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]}$
${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]}$
${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]}$
${\displaystyle \phi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}$

Referências

• COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
• DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
• OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

• Frações Contínuas - Mathemathika!
• Exemplos de Frações Contínuas - Mathemathika!

• Portal da matemática