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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo^[1]) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor^[1]). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com ${\displaystyle b\geq a}$), o quociente^[1] da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que ${\displaystyle bq\leq a}$. O resto^[2] da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que ${\displaystyle r=a-bq.}$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional ${\displaystyle q_{1}={\frac {a}{b))}$ por ${\displaystyle q_{2}={\frac {c}{d))}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

${\displaystyle {\frac {q_{1)){q_{2))}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b))\ {\frac {d}{c))={\frac {ad}{bc))}$

Em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{13))$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {7}{5))=7.5^{-1}=7.8=4}$

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.^[3] Veja divisão polinomial.

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

• Como uma fração: ${\displaystyle {\frac {a}{b)),}$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
• Através de uma barra inclinada: ${\displaystyle {}^{a}\!{/}\!{}_{b))$. (É utilizado para fazer operações em computadores);
• Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: ${\displaystyle a\div b}$;
• Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: ${\displaystyle a:b}$;
• Usando a notação do inverso multiplicativo: ${\displaystyle ab^{-1))$.

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar ${\textstyle a>1}$ e o seu consecutivo ${\textstyle a+1}$ .

Seja a divisão ${\displaystyle a/(a+1)=s}$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente ${\displaystyle s}$ é menor do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1}$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente ${\displaystyle s}$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão ${\displaystyle (a+1)/a=s'}$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente ${\displaystyle s'}$ é maior do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1}$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente ${\displaystyle s'}$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para ${\displaystyle s,s'}$ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par

Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar

sejam dois números consecutivos ${\displaystyle A,B}$ com ${\displaystyle A>B}$ e de paridade par.

A divisão ${\displaystyle A/B=1+1/B}$ , e a outra divisão ${\displaystyle B/A=1-1/A}$ .

Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número ${\displaystyle 10}$ é dada por ${\displaystyle 10=2.5}$ , então a fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n))$ pois ${\displaystyle B}$ é um número de paridade impar.

A fração ${\displaystyle 1/A}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m}.10^{n))$ .

A expressão ${\displaystyle 5^{n))$ termina sempre com o número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$.

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar com o número ${\displaystyle 26}$ exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=6}$ , e o número ${\displaystyle A}$ , terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m))$ onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita.

Como os números da forma ${\displaystyle 2^{m))$ com algarismo ${\displaystyle 6}$ na na última posição são sempre terminados em ${\displaystyle 16,56,96,36,76}$ jamais teremos o par consecutivo com os dois últimos algarismos sendo ${\displaystyle 25,26}$ e com a propriedade de serem da forma ${\displaystyle 5^{n},2^{m))$.

Sejam dois números consecutivos ${\displaystyle B,A}$ com ${\displaystyle B>A}$ e de paridade impar.

A divisão ${\displaystyle B/A=1+1/A}$ e a outra divisão ${\displaystyle A/B=1-1/B}$

Na imensa maioria dos casos, cada uma destas duas expressões tem como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

Em absolutamente todos os casos ao menos uma destas duas expressões apresenta como resultado números com infinitos algarismos após o ponto decimal.

No sistema decimal a decomposição única do número ${\displaystyle 10}$ é ${\displaystyle 10=2.5}$, então a fração ${\displaystyle 1/A}$ só não uma dizima infinita quando ${\displaystyle A=2^{m))$ .

A fração ${\displaystyle 1/B}$ só não será uma dizima infinita quando ${\displaystyle B=5^{n))$ .

A expressão ${\displaystyle 5^{n))$ termina sempre no número ${\displaystyle 25}$ exceto para ${\displaystyle n=1}$ .

Para termos dois números consecutivos nas condições acima o número ${\displaystyle A}$ tem que terminar em ${\displaystyle 24}$ , exceto para o primeiro caso onde ${\displaystyle A=4}$ , e número ${\displaystyle A}$ terá que ser da forma ${\displaystyle 2^{m))$ , onde a expressão ${\displaystyle 1/A}$ não será uma dizima infinita.

O valor de ${\displaystyle A}$ só termina em ${\displaystyle 24}$ , para ${\displaystyle m=10,30,50,70,90,110...}$ e para nenhum destes casos o número sucessivo terminado em ${\displaystyle 25}$ é da forma ${\displaystyle 5^{n))$, impedindo que tenhamos números consecutivos terminados em ${\displaystyle 24,25}$ que sejam da forma ${\displaystyle 2^{m},5^{n))$ .

Estas divisões são aplicadas nas soluções para o Último Teorema de Fermat e para a Conjectura de Beal a partir das equações do Terno Pitagórico obtidas por Geometria , pois qualquer raiz de um número racional com dizima infinita não terá como resposta um número inteiro.

Todas as outras fórmulas para a determinação do Terno Pitagórico inclusive as Fórmulas de Euclides não se aplicam, porque são fórmulas incompletas.

• Critérios de divisibilidade
• Divisão por zero
• Multiplicação
• Anel (matemática)
• Corpo (matemática)
• Algoritmo de Euclides

Notas e referências

• Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves 
• Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires i

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• Explicando o Algoritmo da Divisão

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